二项式定理
“二项式定理的系数就是组合数——也就是杨辉三角。”
公式
(a + b)ⁿ = Σₖ₌₀ⁿ ₙCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏ怎么读: 把(a+b)自乘n次展开后，每一项的系数都是组合数ₙCₖ
- ₙCₖ
- — 二项式系数——aⁿ⁻ᵏbᵏ这一项前面的数
- aⁿ⁻ᵏ bᵏ
- — 某一项中a用了n−k次、b用了k次
- n
- — 括号被相乘的次数（幂次）
引子
不用手动展开(a+b)¹⁰——只要知道每一项的系数是一个'组合数'，一行就能展开。
通俗地说
展开(a+b)ⁿ时，每一项的系数是ₙCₖ——从n个括号中选出k个取b的方式数。
直觉
(a+b)ⁿ就是把(a+b)写n遍再相乘。展开就是从每个括号里选a或b，再把所有乘积加起来。b恰好被选中k次的方式数是ₙCₖ→所以aⁿ⁻ᵏbᵏ的系数就是ₙCₖ。这些系数从一开始就是'选取方式的计数'。
如何构建
对于固定的幂次n，各项依次是aⁿ, aⁿ⁻¹b, …, bⁿ，指数之和始终等于n。系数ₙC₀, ₙC₁, …, ₙCₙ正好是杨辉三角的一行——每个数都是它上方两个数之和。
示例
(a+b)² = ₂C₀a² + ₂C₁ab + ₂C₂b² = 1·a² + 2ab + 1·b²。系数1, 2, 1正是杨辉三角的第三行。
常见误区
(a+b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿ。带有组合系数的中间交叉项总是存在。即使是(a+b)²，漏掉2ab也是错的。
用在哪里
计算概率论中的二项分布、近似(1+x)ⁿ、展开代数表达式、组合恒等式——是概率统计与代数之间的一座桥梁。
从何而来
把这些系数排成'杨辉三角'的做法，在帕斯卡之前就已经在中国（杨辉）和波斯出现过——这是跨越文明的智慧。
前置概念
小测验
在(a+b)³的展开式中，a²b的系数是多少？
- 1
- 2
- 3✓
- 6
练习
求(a+b)⁴展开式中a²b²的系数。
答案: 6
- b被选中两次的方式数：₄C₂
- = (4·3)/(2·1) = 6
要点: 系数是ₙCₖ，其中k是b的指数。
求(1+x)⁵展开式中x²的系数。
答案: 10
- x被选中两次的方式数：₅C₂
- = (5·4)/(2·1) = 10
要点: 在(1+x)ⁿ中，xᵏ的系数是ₙCₖ。
求(a+b)⁴中所有系数之和。（提示：令a=b=1）
答案: 16
- 代入a=b=1：(1+1)⁴
- = 2⁴ = 16
要点: 系数之和就是令a=b=1 → 2ⁿ。
解释(a+b)³的系数1, 3, 3, 1是如何与杨辉三角联系起来的。
答案: undefined
- 杨辉三角中每个数都是它上方两个数之和
- 把1,2,1相邻的数相加得到1,3,3,1
- 那一行正好就是(a+b)³的系数
要点: 二项式系数就是杨辉三角的一行。