排列与组合
“在意顺序 → 排列；不在意顺序 → 组合（C = P ÷ r!）。”
公式
ₙPᵣ = n!/(n−r)!, ₙCᵣ = n!/(r!(n−r)!)怎么读: 排列是从中按顺序挑出 r 个的方法数；组合是不考虑顺序挑出 r 个的方法数
- n
- — 物品总数
- r
- — 要挑选的个数
- ₙPᵣ
- — 排列——顺序重要时的计数
- ₙCᵣ
- — 组合——顺序不重要时的计数
引子
「谁拿金牌、银牌、铜牌」和「哪 3 人晋级决赛」的计数方式不同——是否在意顺序，正是排列和组合的分界线。
通俗地说
从 n 个物品中挑出 r 个：如果挑选的顺序有意义，就是排列（P）；如果只关心「谁被选中」，就是组合（C）。
直觉
把它们排成一列来挑选，你得到的就是排列。但组合不关心顺序，所以必须去掉那些「只是顺序不同、其实是同一组」的重复（共有 r! 种）——这正是为什么组合等于排列除以 r!。C = P ÷ r!。
如何构建
P 就是「n 乘以 (n−1) 乘以……，一共倒数 r 个因数」。C 把这个 P 除以 r!，去掉顺序造成的重复。阶乘 n! 是把 1 到 n 相乘——也就是把这些物品排成一列的方法数。
示例
从 5 人中选 2 人：排列 ₅P₂ = 5·4 = 20（区分第一名和第二名）。组合 ₅C₂ = 20 ÷ 2! = 20 ÷ 2 = 10（只是选出 2 人）。
常见误区
别一看到「选」这个词就直接用组合。如果角色不同（比如正、副班长），那是排列；如果没有角色区分（比如只是选 2 名代表），那才是组合。
用在哪里
彩票中奖概率、密码的可能组合数、组队方式、扑克牌的手牌——概率与统计中「有多少种可能」这一问题的起点。
从何而来
帕斯卡和费马在通信中讨论赌博的胜率问题时，系统化的计数方法由此迅速发展起来。
前置概念
小测验
₅C₂ 是多少？（从 5 个中选 2 个）
- 10✓
- 20
- 25
- 60
练习
求 ₄P₂（从 4 个中按顺序排出 2 个）。
答案: 12
- 从 4 开始倒数相乘 2 个因数：4·3
- = 12
要点: 排列是从 n 开始倒数相乘 r 个因数。
求 ₆C₂。
答案: 15
- ₆C₂ = (6·5)/(2·1)
- = 30/2 = 15
要点: 组合是把排列除以 r!。
求 3!。
答案: 6
- 3! = 3·2·1
- = 6
要点: 阶乘是把 1 一直乘到这个数。
用「从 5 个中选 2 个」来解释为什么 ₙCᵣ = ₙPᵣ ÷ r!。
答案: undefined
- 排列 ₅P₂=20 把 (A,B) 和 (B,A) 分别计数
- 但对于「选 2 个」来说，它们其实是同一组
- 去掉 2!=2 种排序方式：20÷2=10
要点: 组合就是去掉顺序重复之后的排列。