分析与微积分
21 个概念
lim(n→∞) aₙ = L数列的极限
把项数 n 推向无穷大，如果数列的项不断逼近某一个确定的数 L，那么 L 就是这个数列的极限。
lim(x→a) f(x) = L极限
让 x 越来越接近某个值 a，观察函数正朝哪个数字靠拢。
lim(x→a) f(x) = f(a)连续性
如果趋近某点时预期的值（极限）恰好等于该点实际标出的值，曲线就毫无断裂地穿过这一点。
f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)] / h导数——瞬间的斜率
先取两点之间的斜率（升高÷跑动），再让这两点无限靠近，得到「单独一点上的斜率」。
d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹幂函数求导法则
xⁿ 的斜率函数是：把指数 n 乘到前面，再把指数降到 n−1。
(f·g)' = f'·g + f·g'乘积法则
要对两个函数的乘积求导，需分别对每个函数求导，再把两个结果相加。
(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)链式法则
要对复合函数（函数中套函数）求导，把外层函数的导数乘以内层函数的导数。
f'(x) = 0临界点——斜率为零之处
令导数等于0并求解，得到的x就是切线变平的地方——极大值或极小值的候选点。
f''(x) > 0 ⇒ ∪ , f''(x) < 0 ⇒ ∩凹凸性与二阶导数
二阶导数f''是斜率的变化率。它的符号告诉你曲线是像碗一样弯（∪）还是像帽子一样弯（∩）。
∫ₐᵇ f(x) dx = lim Σ f(xᵢ)·Δx积分——累加面积
曲线下的面积，用许多非常窄的矩形填满，再把它们的面积加在一起。让宽度趋于 0，就得到精确的面积。
∫ₐᵇ f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a)定积分
[a,b]区间上的面积，不是用黎曼和计算，而是通过找到一个原函数F，再求F(b)−F(a)。
d/dx ∫ₐˣ f(t) dt = f(x)微积分基本定理
对从 a 到 x 累积面积的函数求导，原来的函数 f(x) 就会重新冒出来。微分与积分是互逆的。
e = lim(n→∞) (1 + 1/n)ⁿ ≈ 2.71828自然常数e
取100%的利率，把它切分成越来越细的复利步骤，当步数趋于无穷时，结果会趋近于e ≈ 2.718。
ln x = y ⇔ eʸ = x自然对数
ln x 回答的是「e 要取多少次方才能得到 x」。换句话说，它是指数函数 eˣ 的反函数。
d/dx eˣ = eˣ推导指数函数的导数——eˣ 的斜率就是它自己
eˣ 的斜率函数就是 eˣ 本身。在任意一点，那里的高度恰好就是那里的斜率。
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x−a) + ½f''(a)(x−a)²泰勒近似——用多项式模拟曲线
在某一点附近，用一个简单的多项式来近似复杂的函数，让它们在该点的取值、斜率和弯曲程度都相同。
lim(x→a) f(x) = L ⟺ ∀ε>0, ∃δ>0 : 0 < |x−a| < δ ⟹ |f(x)−L| < ε极限的 ε–δ 定义
无论对方给出多小的误差 ε，只要你都能把输入区间 δ 缩小到让 f(x) 与 L 的差保持在 ε 以内，这个极限就是 L。
S = Σ(n=1..∞) aₙ = lim(N→∞) (a₁ + a₂ + ⋯ + a_N); Σ(n=0..∞) arⁿ = a/(1−r), |r|<1级数的收敛
无穷级数的'和'并不是真的一直加到最后。你先求出前 N 项的部分和；如果这个值随着 N 增大而趋近某个数 S，就说这个级数'收敛于 S'。
z = f(x, y) → ∂f/∂x, ∂f/∂y偏导数
对于两个或更多变量的函数，把你关心的那个变量以外的所有变量都固定住，再做普通的求导。
∬_R f(x, y) dA = ∫∫ f(x, y) dx dy重积分
把底面区域 R 切成许多小矩形，把每一小块的面积乘以该处函数的高度得到一根小柱子的体积，再把所有柱子加起来。
f(x) = a₀/2 + Σₙ (aₙ cos nx + bₙ sin nx)傅里叶级数
一个周期函数可以精确地写成一系列正弦和余弦的和，它们的频率是某个基频的整数倍。你只需要确定每种纯音混入了多少（系数 aₙ、bₙ）。