分析与微积分formulaintermediate
链式法则
“链式法则：外层导数×内层导数，沿链条一路相乘。”
公式
(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)怎么读: 对外层函数求导（内部原样保留），再乘以内层函数的导数
- g(x)
- — 内层函数
- f'(g(x))
- — 对外层函数求导，内部保持不变
- g'(x)
- — 内层函数的导数
引子
当一个函数嵌套在另一个函数里面，导数就按'外层×内层'的方式流动——这是微积分中你会用得最多的法则。
通俗地说
要对复合函数（函数中套函数）求导，把外层函数的导数乘以内层函数的导数。
直觉
想象两个咬合的齿轮。外轮的转速是内轮转速的某个倍数。变化率沿着链条一路相乘——这就是'链式'法则的由来。
如何构建
像剥洋葱一样，从最外层开始。先对外层f求导（内部的g保持不动），再乘以g本身相对x变化的速度（也就是g'）。
示例
对于y=(x²+1)³，外层是三次方（→3u²），内层是x²+1（→2x）。相乘：y'=3(x²+1)²·2x = 6x(x²+1)²。在x=1处，这是6·1·4 = 24。
常见误区
很容易忘记乘以内层导数g'。只停在3(x²+1)²——只算了外层——是错的。
用在哪里
只要指数、对数或三角函数中嵌套着其他表达式；物理中的相关变化率；神经网络中的反向传播——全都是链式法则。
从何而来
这正是莱布尼茨的dy/dx记号大放异彩的地方——dy/dx = dy/du · du/dx读起来就像分数直接约掉了一样。
前置概念
小测验
y=(3x+1)²的导数是多少？
- 2(3x+1)
- 6(3x+1)✓
- 6x
- 3(3x+1)²
练习
y=(2x+1)³在x=0处的导数是多少？
答案: 6
解答:
- 外层：三次方 → 3(2x+1)²；内层：2x+1 → 2
- y'=3(2x+1)²·2 = 6(2x+1)²
- 代入x=0 → 6·1 = 6
要点: 求完外层导数后，一定要再乘以内层导数2。
y=(x²+1)²在x=1处的导数是多少？
答案: 8
解答:
- 外层：平方 → 2(x²+1)；内层：x²+1 → 2x
- y'=2(x²+1)·2x = 4x(x²+1)
- 代入x=1 → 4·1·2 = 8
要点: 展开成x⁴+2x²+1，求导得4x³+4x，在x=1处得8——结果一致。
用链式法则对y=(5x−2)⁴求导。
答案: undefined
解答:
- 外层：四次方 → 4(5x−2)³；内层：5x−2 → 5
- y'=4(5x−2)³·5 = 20(5x−2)³
要点: 别忘了乘以内层导数（这里是5）。