分析与微积分formulaintermediate
幂函数求导法则
“幂函数求导法则：提下来，降一次。”
公式
d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹怎么读: 要对 xⁿ 求导，把指数 n 提到前面，再把指数减一
- n
- — 幂的指数
- d/dx
- — 表示「对 x 求导」的符号
- xⁿ⁻¹
- — 指数减 1 后的幂
引子
不必每次都用极限定义硬算——对于幂函数，只需一步：「提下来，降一次」。
通俗地说
xⁿ 的斜率函数是：把指数 n 乘到前面，再把指数降到 n−1。
直觉
指数越大，曲线爬升得越陡。求导就是把这个「爬升速率（n）」提到前面，再把次数降低一级，从而得到斜率的表达式。
如何构建
只有两步——① 把指数提出来作为系数，② 把指数减 1。这条法则其实是把对 x³、x⁴ 等逐一用极限定义计算所得到的规律压缩了起来。
示例
对 x⁵ 求导：指数 5 提到前面，指数变为 4 → 5x⁴。在 x=1 处，斜率为 5。
常见误区
很容易忘记把指数减 1。另外，常数的导数是 0——常数可以看作 x⁰（n=0），所以提到前面的系数就是 0。
用在哪里
对任何多项式求导，本质上就是把这条法则逐项应用。由于物理和经济学中的大多数模型都是多项式，你几乎每天都会用到它。
从何而来
牛顿通过二项式定理展开 (1+h)ⁿ 发现了这个规律；后来人们证明它对有理数和实数指数同样成立。
前置概念
小测验
x⁶ 的导数是多少？
- 6x⁵✓
- 6x⁷
- x⁵
- 5x⁶
练习
f(x)=x⁴ 在 x=2 处的导数是多少？
答案: 32
解答:
- f'(x)=4x³
- 代入 x=2 → 4·8 = 32
要点: 提下来，降一次，再代入一次数值。
f(x)=x²+x³ 在 x=1 处的导数是多少？（逐项求导）
答案: 5
解答:
- f'(x)=2x+3x²
- 代入 x=1 → 2 + 3 = 5
要点: 和的导数等于每一项分别求导后相加。
对 f(x)=5x² 求导，并代入 x=3。
答案: 30
解答:
- 常数 5 保持不变：f'(x)=5·2x=10x
- 代入 x=3 → 30
要点: 常数系数在求导过程中原封不动地保留下来。