分析与微积分conceptintermediate
连续性
“连续性说白了就是「极限值=实际值」。”
公式
lim(x→a) f(x) = f(a)怎么读: x=a处的极限等于函数在该点的值——此时f在a处连续
- f(a)
- — 函数在该点的实际取值
- lim(x→a) f(x)
- — 趋近该点时的极限
- =
- — 当两者相等时，f在a处连续
引子
连续性把「能不能不抬笔画出来」这句话，浓缩成了一个方程。
通俗地说
如果趋近某点时预期的值（极限）恰好等于该点实际标出的值，曲线就毫无断裂地穿过这一点。
直觉
没有洞（缺失的点），没有跳跃（台阶），没有爆破（垂直的尖峰）。如果你能用指尖沿着图像描下去而不抬起，它就是连续的。
如何构建
必须同时满足三件事——①f(a)有定义，②极限存在，③两者相等。少了任何一条，曲线就会在那一点断裂。
示例
以f(x)=x²+1在x=1处为例：极限lim(x→1)=2，取值f(1)=2。两者相等，所以f在x=1处连续。
常见误区
连续不代表可导。|x|在x=0处是没有断裂的（连续），但有一个尖角，所以在那里没有明确定义的斜率。
用在哪里
介值定理和极值定理这类「某处必定存在某个值」的强大结论，只对连续函数成立。
从何而来
过去「没有断裂」全靠直觉判断；19世纪柯西用极限给出了定义，连续性从此变成可以用不等式处理，而不只是靠图形判断的概念。
前置概念
小测验
f在x=a处连续需要满足什么条件？
- 极限等于函数的取值✓
- 取值必须为0
- 斜率必须为0
- f在a处必须可导
练习
f(x)=2x+1在x=3处连续吗？分别求出极限和f(3)，再进行比较。
答案: undefined
解答:
- 极限：lim(x→3)(2x+1) = 7
- 取值：f(3) = 2·3+1 = 7
- 两者相等，所以f在x=3处连续
要点: 多项式处处连续——极限就是把值直接代入。
f(x)=x²−x是连续的，所以lim(x→2) f(x) = f(2)。结果是多少？
答案: 2
解答:
- 连续，所以直接代入即可
- f(2) = 4 − 2 = 2
要点: 对连续函数来说，求极限就是一次代入。
以下哪一个不是连续的？
答案: 0
解答:
- 1/x在x=0处没有定义，并且趋向±∞爆破
- 其余的都毫无断裂地穿过对应的点
要点: 无定义、跳跃或爆破→在该处不连续。