分析与微积分conceptintermediate
极限
“极限度量的是逼近的过程，而不是到达的那一刻。”
公式
lim(x→a) f(x) = L怎么读: 当 x 被推向无限接近 a 时，f(x) 所趋向的值 L
- x→a
- — x 趋近于 a（无限接近，但永不相等）
- f(x)
- — 该处函数的取值
- L
- — f(x) 所逼近的值（极限）
引子
极限问的不是「那一点的值是多少」，而是「快到那一点时，它正朝哪儿去」。
通俗地说
让 x 越来越接近某个值 a，观察函数正朝哪个数字靠拢。
直觉
即使从未真正到达，你也能只凭「靠近的方式」说出终点在哪。就像在雾中行走，如果每一块路标都指向同一个地方，那个地方就是极限。
如何构建
重要的是 x=a 附近的行为，而不是 x=a 处的取值。哪怕那一点是个「洞」，只要两侧都逼近同一个数，极限就存在。
示例
(x²−1)/(x−1) 在 x=1 处是 0/0，没有定义。但化简后得到 x+1，让 x 趋近 1 时，值趋于 2 → 极限是 2。
常见误区
极限和实际取值可以不同。x=1 处这个函数根本没有定义，但极限却是干净利落的 2。
用在哪里
导数、积分、连续性、无穷级数——整个微积分都建立在极限这一个概念上。
从何而来
17 世纪人们只是含糊地谈论「无穷小量」。19 世纪，柯西和魏尔斯特拉斯把极限严格地钉了下来，给微积分打下了根基。
前置概念
小测验
lim(x→3) (x²−9)/(x−3) 等于多少？
- 0
- 3
- 6✓
- 9
练习
求 lim(x→2) (x²−4)/(x−2)。
答案: 4
解答:
- 分解分子：x²−4 = (x−2)(x+2)
- 约分 → x+2（对 x≠2 成立）
- 代入 x=2 → 4
要点: 遇到 0/0 时，先约分补上那个洞，再代入。
求 lim(x→0) (3x+1)。
答案: 1
解答:
- 这个函数处处光滑
- 直接代入 x=0 → 1
要点: 没有洞时，极限就是直接代入的值。
lim(x→0) 1/x 存在吗？在草稿本上写出从左边和从右边逼近时分别发生了什么。
答案: undefined
解答:
- 从右边（x→0⁺）：1/x → +∞
- 从左边（x→0⁻）：1/x → −∞
- 两侧结果不一致，所以极限不存在
要点: 如果两侧趋向不同的值，极限就不存在。