数列的极限
“极限不是「到达」，而是你无限逼近的那个值。”
公式
lim(n→∞) aₙ = L怎么读: 当 n 无限增大时，如果数列的值 aₙ 无限接近某一个确定的值 L，那么 L 就是这个数列的极限
- aₙ
- — 数列的第 n 项的值
- n → ∞
- — 项数 n 无限增大
- L
- — 数列所逼近的极限值
引子
1、1/2、1/3、1/4、… 永远不会变成 0，却「无限」地逼近 0——那个终点就是极限。
通俗地说
把项数 n 推向无穷大，如果数列的项不断逼近某一个确定的数 L，那么 L 就是这个数列的极限。
直觉
想象一串脚步，永远逼近一个终点，却从不踏上去。重要的不是「是否到达」，而是「能不能要多近就多近」。只要你要求的误差再小，只要走得足够远就能落在误差范围内，那个被逼近的值就是极限。
如何构建
lim(n→∞) 表示「当 n 无限增大时」，aₙ 是数列，L 是被逼近的值。如果极限落定在某个有限值上，就叫「收敛」；如果无限增大或始终不落定，就叫「发散」。
示例
aₙ = 1/n 依次是 1、1/2、1/3、…，越来越小。随着 n 增大，它无限逼近 0，所以 lim(n→∞) 1/n = 0。
常见误区
极限并不意味着「真的到达」那个值。1/n 对任何 n 都不等于 0——它只是要多接近 0 就能多接近 0。「逼近」和「等于」是两回事。
用在哪里
用多边形逼近圆的面积、无穷级数求和、导数与积分的基础——微积分的全部起点，就是「无限切细、无限逼近」。
从何而来
用严格的 ε-N 语言把「无限逼近」钉死，是柯西和魏尔斯特拉斯在 19 世纪完成的工作，这为微积分打下了坚实的逻辑基础。
前置概念
小测验
lim(n→∞) 1/n 等于多少？
- 0✓
- 1
- ∞
- 1/2
练习
求 lim(n→∞) 1/n²。
答案: 0
- 随着 n 增大，n² 增大得更快
- 1/n² 无限逼近 0 → 0
要点: 当分母趋于无穷大时，分数趋于 0。
求 lim(n→∞) (2n+1)/n。
答案: 2
- (2n+1)/n = 2 + 1/n
- 当 n→∞ 时，1/n → 0，所以极限是 2
要点: 拆分表达式能显露出趋于 0 的那一项。
对常数数列 aₙ=3，求 lim(n→∞) 3。
答案: 3
- 每一项永远都是 3
- 数值从未改变，所以极限是 3
要点: 常数数列的极限就是这个常数本身。
解释「1/n 逼近 0 但永远不等于 0」是什么意思。
答案: undefined
- 对任何 n，1/n > 0
- 但只要让 n 增大，就能要多接近 0 就有多接近
- 极限 0 不是一个「到达的点」，而是「被逼近的值」
要点: 极限是无限逼近，不是到达。