重积分
“重积分就是「把每一小块面积乘以它的高度，再全部加起来」——一个体积。”
公式
∬_R f(x, y) dA = ∫∫ f(x, y) dx dy怎么读: 在区域 R 上，先对 x 再对 y 各积分一次，就能求出曲面下方所围的体积
- ∬_R
- — 在区域 R 上的二重积分符号
- dA
- — 面积元 dA = 一小块面积
- dx dy
- — 先做内层积分（x），再做外层积分（y）——即累次积分
引子
如果一维积分是测量面积的尺子，那么二维积分就是测量体积的尺子——它捕捉的是曲面与地面之间的整个空间。
通俗地说
把底面区域 R 切成许多小矩形，把每一小块的面积乘以该处函数的高度得到一根小柱子的体积，再把所有柱子加起来。
直觉
想象一张城市地图，建筑的高度就是 f(x,y)。对每个街区（一小块面积 dA）计算「面积 × 高度 = 该街区的体积」，再把整座城市加起来就是总体积。之所以有两个积分号，是因为你要分别沿 x 方向和 y 方向各扫一遍。
如何构建
累次积分是由内向外计算的：先固定 y，对 x 积分（得到某一横截面的面积），再对这个结果对 y 积分（把各个切片叠成体积）。内层积分中把 y 视为常数，这和偏导数的思路完全一致。
示例
计算 ∫₀¹∫₀¹ (x+y) dx dy。内层（x）：∫₀¹(x+y)dx = [x²/2 + yx]₀¹ = 1/2 + y。外层（y）：∫₀¹(1/2 + y)dy = [y/2 + y²/2]₀¹ = 1/2 + 1/2 = 1。体积为 1。
常见误区
「两个积分号意味着难度翻倍」是错的——你其实是一步一步做，把另一个变量当作常数依次处理。对于光滑区域，先积 x 还是先积 y 结果都一样（富比尼定理）。
用在哪里
质量、质心、转动惯量（对区域上的密度积分）、联合概率分布（二元概率总和为 1）、电磁通量、计算机图形学中的光照积分——凡是「某个量在一片区域上的总和」，都是重积分的用武之地。
从何而来
重积分是牛顿和莱布尼茨的积分向多变量的推广；19 世纪富比尼证明了它可以改写成累次的单重积分，为实际计算打开了大门。
前置概念
小测验
∫₀¹∫₀¹ 1 dx dy 等于多少？（单位正方形上高度为 1 的体积）
- 0
- 1✓
- 2
- 1/2
练习
计算 ∫₀²∫₀³ 1 dx dy。（底面 3×2、高为 1 的长方体的体积）
答案: 6
- 内层：∫₀³ 1 dx = 3
- 外层：∫₀² 3 dy = 3·2 = 6
要点: 对常数 1 积分，得到的就是区域面积 × 高度 = 体积。
计算 ∫₀¹∫₀¹ (x+y) dx dy。
答案: 1
- 内层（x）：∫₀¹(x+y)dx = 1/2 + y
- 外层（y）：∫₀¹(1/2 + y)dy = 1/2 + 1/2 = 1
要点: 累次积分由内向外计算——内层积分中 y 是常数。
计算 ∫₀²∫₀² xy dx dy。
答案: 4
- 内层（x）：∫₀² xy dx = y·[x²/2]₀² = 2y
- 外层（y）：∫₀² 2y dy = [y²]₀² = 4
要点: 当变量可以分离时，可以拆成两个积分相乘：(∫x dx)(∫y dy) = 2·2 = 4。
在笔记本上说明为什么交换积分次序（先 x 还是先 y）结果相同（富比尼定理）。
答案: undefined
- 体积是同一个实际存在的物体——无论按竖切片还是横切片堆叠，填满的都是同一片空间
- 对于有界区域上的连续（可积）函数，两种累次积分的结果都等于这个体积
- 这就是富比尼定理——它给出了可以交换积分次序的条件
要点: 对光滑函数而言，积分次序可以自由选择——因为底层只有一个体积。