分析与微积分methodintermediate
定积分
“定积分把一片面积压缩成一个数。”
公式
∫ₐᵇ f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a)怎么读: 从a到b的面积，等于原函数F在b处的值减去在a处的值
- a, b
- — 区间的起点和终点（下限和上限）
- F
- — f的一个原函数（导数为f的函数）
- F(b) − F(a)
- — 上限处的值减去下限处的值
引子
定积分不需要「无穷次相加」——只要把两个数代入原函数再相减就行。
通俗地说
[a,b]区间上的面积，不是用黎曼和计算，而是通过找到一个原函数F，再求F(b)−F(a)。
直觉
定积分是一个数（不是函数）。就像里程碑一样，累积到终点的量F(b)与累积到起点的量F(a)之间的差，就是这段区间新增的面积。
如何构建
①求f的一个原函数F（求导后能还原为f的函数），②代入上限b，③再减去下限a处的值。记号[F(x)]ₐᵇ表示的正是这种「代入再相减」。
示例
∫₀³ x² dx：原函数是x³/3。[x³/3]₀³ = 27/3 − 0 = 9。
常见误区
定积分是一个数，不是函数。而且它是「带符号的面积」，x轴下方的部分算作负值——结果可能为零，甚至为负。
用在哪里
为「区间上的总量」求出一个具体数值——总路程、平均值、功、概率等等。
从何而来
莱布尼茨的∫符号是拉长的S，来自拉丁语summa（「求和」）——记号里至今还留着「相加」的痕迹。
前置概念
小测验
∫₀² x dx的值是多少？
- 1
- 2✓
- 4
- 0
练习
求∫₀² 2x dx。
答案: 4
解答:
- 原函数：x²
- [x²]₀² = 4 − 0 = 4
要点: 找到原函数，代入上下限，相减。
求∫₁² 3x² dx。
答案: 7
解答:
- 原函数：x³
- [x³]₁² = 8 − 1 = 7
要点: 有系数3的加持，原函数正好是干净的x³。
求∫₀¹ (2x+1) dx。
答案: 2
解答:
- 原函数：x²+x
- [x²+x]₀¹ = (1+1) − 0 = 2
要点: 逐项求出原函数再合并。