分析与微积分conceptintermediate
积分——累加面积
“积分就是「切薄再全部加起来」。”
公式
∫ₐᵇ f(x) dx = lim Σ f(xᵢ)·Δx怎么读: 把区间切成许多薄矩形，加总它们的面积，再取宽度趋于 0 的极限，就是曲线下的面积
- Δx
- — 每个薄矩形的宽度
- f(xᵢ)
- — 每个矩形的高度
- Σ ... lim
- — 把它们全部加总，再取宽度趋于 0 的极限
- ∫
- — 拉长的 S，表示「加总」
引子
积分号 ∫ 看起来吓人，其实只有一个意思——「切得薄薄的，再全部加起来」。
通俗地说
曲线下的面积，用许多非常窄的矩形填满，再把它们的面积加在一起。让宽度趋于 0，就得到精确的面积。
直觉
想象用薄砖块填满凹凸屋顶下的空间。厚砖块给出的只是粗略估计；砖块越薄，总和就越贴近真实面积。∫ 就是那个「无限薄的加总」。
如何构建
每一片的面积 = 高度 f(xᵢ) × 宽度 Δx。把它们全部加起来就是黎曼和 Σf(xᵢ)Δx。当宽度 Δx 趋于 0 时的极限，就是积分。
示例
y=x 从 x=0 到 2 下方的面积，是底 2、高 2 的三角形，所以是 ½·2·2 = 2。用积分累加，得到的也是 2。
常见误区
积分不只是「求导的逆运算」。那只是计算它的便捷方法；本质上它是「薄片面积的加总」。
用在哪里
面积、体积、行进距离、累积概率、功（能量）——任何需要「一点点累积成总量」的地方都用得到。
从何而来
阿基米德早就用切片法求曲线下的面积（穷竭法）。两千年后，牛顿和莱布尼茨把它与求导联系了起来。
前置概念
小测验
积分号 ∫ 是什么意思？
- 相乘
- 切薄再加总✓
- 求导
- 相除
练习
y=x 从 x=0 到 4 下方（一个三角形）的面积是多少？
答案: 8
解答:
- 一个底 4、高 4 的直角三角形
- ½·4·4 = 8
要点: 直线下的面积可以用几何公式验证。
y=3（常数）从 x=0 到 5 下方（一个矩形）的面积是多少？
答案: 15
解答:
- 一个高 3、宽 5 的矩形
- 3·5 = 15
要点: 对常数积分就是矩形的面积。
用两个宽度为 1 的矩形（取右端点高度）估算 y=x 在 0–2 上的面积，并与真实面积 2 比较。
答案: undefined
解答:
- 右端点高度：x=1 处为 1，x=2 处为 2
- 面积之和 = 1·1 + 1·2 = 3
- 比真实值 2 大——厚切片会高估
要点: 厚切片只是估计值，切得越薄就越逼近真值。