偏导数
“偏导数就是「固定其他一切——只看这一个方向有多陡」。”
公式
z = f(x, y) → ∂f/∂x, ∂f/∂y怎么读: 在多变量函数中，只微调 x、其余变量都保持不变时的瞬时斜率
- ∂
- — 偏导符号——「只沿这一个方向求导」
- ∂f/∂x
- — 对 x 的偏导数——把 y 当作常数时的斜率
- y
- — 这次被固定不变的另一个变量
引子
你站在一片山坡上。「往东走有多陡」和「往北走有多陡」是两个不同的数字——偏导数就是只沿一个方向测得的斜率。
通俗地说
对于两个或更多变量的函数，把你关心的那个变量以外的所有变量都固定住，再做普通的求导。
直觉
想象一片起伏的地形 f(x,y)。∂f/∂x 是只沿东西方向走时的斜率；∂f/∂y 是只沿南北方向走时的斜率。即使在同一个点，坡度也会因方向而不同，所以要分别测量每个方向。
如何构建
运算方式和普通求导完全一样，只多了一条规则：除了你正在求导的那个变量之外，其余变量都当作普通的数（常数）处理。所以做 ∂/∂x 时，y 就像数字 3 一样被对待。
示例
设 f(x,y)=x²y。对 x 求导（y 固定不变）：∂f/∂x = 2xy。对 y 求导（x² 固定不变）：∂f/∂y = x²。在点 (2,3) 处：∂f/∂x = 2·2·3 = 12，∂f/∂y = 2² = 4。
常见误区
很容易误以为在算 ∂f/∂x 时 y 也在跟着变化。其实不然——在偏导数中 y 是完全冻结的。y 随 x 一起变化的情形要用另一种工具来处理，那就是全导数。
用在哪里
机器学习中的梯度下降（对成千上万个权重各求一个偏导数，合起来就是梯度）、描述热传导与流体的偏微分方程、经济学中的边际效用、物理学中的场计算——凡是涉及多个变量的世界，都离不开偏导数。
从何而来
18 世纪，欧拉和达朗贝尔在研究弦振动与热流问题时，完善了「一次只对一个变量求导」的思路。符号 ∂（「圆润的 d」）就是为了把它和普通的 d 区分开而引入的。
前置概念
小测验
f(x,y)=x²y 关于 y 的偏导数是多少？
- 2xy
- x²✓
- 2x
- y
练习
对于 f(x,y)=x²+y²，求它在点 (3,5) 处的 ∂f/∂x。
答案: 6
- 把 y 当作常数，对 x 求导：∂f/∂x = 2x
- 代入 x=3 → 2·3 = 6
要点: 偏导数固定除一个变量外的所有变量——之后就是普通求导。
对于 f(x,y)=x²y，求它在点 (2,3) 处的 ∂f/∂x。
答案: 12
- 把 y 当作常数，对 x 求导：∂f/∂x = 2xy
- 代入 (2,3) → 2·2·3 = 12
要点: 对 x 求导时，y 只是跟着当作一个数字。
对于 f(x,y)=3x+4y，求 ∂f/∂y。
答案: 4
- 把 x 当作常数，所以 3x 求导后为 0
- 4y 对 y 求导 → 4
要点: 不含目标变量的项都是常数，求导后消失。
在笔记本上解释一下，为什么计算 ∂f/∂x 时可以把 y 当作常数处理。
答案: undefined
- 定义中，f(x+h,y)−f(x,y) 里两项的 y 完全相同
- 只有 x 变化了 h → y 始终不变，因此它就相当于一个常数
- 从几何上看，你是切出一条「东西方向的截面」，测量这条截面的斜率
要点: 定义本身——某一方向截面的斜率——正是「固定其他变量」这句话的含义。