分析与微积分conceptintermediate
临界点——斜率为零之处
“在峰和谷处，斜率为零。”
公式
f'(x) = 0怎么读: 导数（斜率）为0的x——可能是局部极大值或极小值的候选点
- f'(x)
- — 导数=该点的斜率
- = 0
- — 斜率为0，切线是水平的
- x
- — 可能是极大值或极小值的候选位置
引子
找出一个函数的峰谷竟然出奇简单——「找斜率为0的地方」。
通俗地说
令导数等于0并求解，得到的x就是切线变平的地方——极大值或极小值的候选点。
直觉
爬山时，到达山顶的一瞬间是平的。山谷的最低点也是如此。在上坡（斜率+）转为下坡（斜率−）的转折点，斜率恰好经过0。
如何构建
求解f'(x)=0，收集候选的x。然后用两侧斜率的正负号，或者二阶导数，来判断每一个候选点是峰还是谷。
示例
对f(x)=x²−4x+3，f'(x)=2x−4。令其为0→x=2。此处f(2)=4−8+3=−1——这是这条抛物线的最低点。
常见误区
斜率为0并不总是意味着极值。f(x)=x³在x=0处f'=0，但它既不是峰也不是谷——只是平滑地穿过（一个拐点）。
用在哪里
最大利润、最小成本、最短路径——所有寻找「最优值」的优化问题，都是从求解斜率=0开始的。
从何而来
在微分学被正式建立之前，费马就已经埋下了「变化在极大值附近会停滞」这一想法的种子。
前置概念
小测验
f(x)=x²−6x在哪个x处取得极值？
- 0
- 2
- 3✓
- 6
练习
f(x)=x²−2x在哪个x处取得极值？
答案: 1
解答:
- f'(x)=2x−2
- 令其为0：2x−2=0 → x=1
要点: 求导，令其为0，解出x。
f(x)=x²+6x+5在哪个x处取得最小值？
答案: -3
解答:
- f'(x)=2x+6
- 令其为0：2x+6=0 → x=−3
要点: 对于开口向上的抛物线，斜率为0的地方就是最低点。
求f(x)=x³−3x的所有临界点（斜率为0之处）。
答案: undefined
解答:
- f'(x)=3x²−3
- 令其为0：3x²−3=0 → x²=1 → x=1, x=−1
要点: 临界点可能不止一个——把每一个解都收集起来。