泰勒近似——用多项式模拟曲线
“泰勒近似就是把曲线换成多项式。”
公式
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x−a) + ½f''(a)(x−a)²怎么读: 在一点附近用多项式模拟曲线，依次匹配它的取值、斜率和弯曲程度
- f(a)
- — 该点处的取值——0阶：匹配高度
- f'(a)(x−a)
- — 匹配斜率——1阶：切线
- ½f''(a)(x−a)²
- — 匹配弯曲程度——2阶：曲率
引子
计算机是怎么算出 sin 或 eˣ 的？答案出人意料——它把曲线换成了多项式来算。
通俗地说
在某一点附近，用一个简单的多项式来近似复杂的函数，让它们在该点的取值、斜率和弯曲程度都相同。
直觉
在一点画出切线（1阶），它就能大致模拟附近的曲线。再加上曲线的「弯曲程度」（2阶），贴合就更紧密。每多加一项，多项式就更紧地贴住真正的曲线，覆盖的范围也更广。
如何构建
0阶是高度 f(a)；1阶项 f'(a)(x−a) 构造出切线；2阶项 ½f''(a)(x−a)² 匹配凹凸程度。每多加一项，就让该点处多一阶导数相同。
示例
以 a=0 附近的 eˣ 为例：f(0)=1，f'(0)=1，f''(0)=1 → 1+x+x²/2。在 x=0.1 处得到 1+0.1+0.005 = 1.105，几乎等于真实值 e^0.1 ≈ 1.10517。
常见误区
这种近似只在基点 a 附近才准确。离基点越远，误差就越大；增加项数能提高精度，但并不能让近似在任何地方都成立（收敛半径的限制）。
用在哪里
计算器和计算机计算 sin、eˣ、ln 的方式；物理学中的小角度近似 sinθ≈θ；工程中的线性化——几乎所有实际计算场景都会用到。
从何而来
布鲁克·泰勒在18世纪将其系统化；以 a=0 为基点的特殊情形被称为麦克劳林级数。
前置概念
小测验
泰勒近似取到1阶（线性）项时，等价于什么？
- 切线✓
- 面积
- 极限
- 二阶导数
练习
用 eˣ 的1阶（切线）近似 1+x，在 x=0.2 处的估计值是多少？
答案: 1.2
- 近似式：1+x
- 代入 x=0.2 → 1.2（真实值 e^0.2 ≈ 1.221）
要点: 1阶近似就是切线——在基点附近相当精确。
用 eˣ ≈ 1+x+x²/2（以 a=0 为基点），在 x=1 处的估计值是多少？
答案: 2.5
- 1 + 1 + 1²/2 = 1 + 1 + 0.5
- = 2.5（真实值 e ≈ 2.718——离基点这么远，误差就很大了）
要点: 离基点越远，需要的项数就越多。
用泰勒近似解释小角度近似 sinθ≈θ。sin 在 θ=0 处的1阶近似是什么？
答案: undefined
- sin 0 = 0，(sin)'=cos，cos 0 = 1
- 1阶近似：0 + 1·(θ−0) = θ
- 所以当 θ 很小时，sinθ ≈ θ
要点: 物理学中的小角度近似，其实就是泰勒展开的1阶项。