分析与微积分theoremintermediate
微积分基本定理
“微分和积分是一对互相抵消的操作。”
公式
d/dx ∫ₐˣ f(t) dt = f(x)怎么读: 对「累积到目前为止的面积」函数求导，会回到原来的函数——积分与微分互为逆运算
- ∫ₐˣ f(t) dt
- — 从 a 到 x 累积的面积（累积函数）
- d/dx
- — 对这个面积函数求导
- f(x)
- — 结果就回到了原来的函数
引子
两个原本各自发展的想法——切割（微分）与堆叠（积分）——最终被发现是一对能相互抵消的操作。这就是微积分最伟大的发现。
通俗地说
对从 a 到 x 累积面积的函数求导，原来的函数 f(x) 就会重新冒出来。微分与积分是互逆的。
直觉
往水桶里倒水。对目前为止已经装了多少水（积分，即累积量）关于时间求导，得到的就是此刻正在倒水的速度（原函数）。累积总量的变化率 = 当前的值。
如何构建
它分两部分——① 对面积累积函数求导会得到 f，② 因此定积分可以用 F(b)−F(a) 来计算。求导交给你的原函数，正是破解积分的关键。
示例
F(x)=∫₀ˣ t dt 是底为 x、高为 x 的三角形的面积，即 x²/2。对它求导：d/dx(x²/2)=x，恰好回到原来的 f(t)=t。
常见误区
人们常常以为微分和积分是「两个互不相干的步骤」。事实上它们像加法和减法一样相互抵消——互为逆运算。
用在哪里
有了这条定理，你不必永远地累加面积；只需找到一个原函数，定积分就自然而然地算出来了——这是实际微积分运算的核心所在。
从何而来
巴罗（牛顿的老师）等前辈已经知道其中的零散部分，但把微分和积分统一成一条定理，是牛顿和莱布尼茨的工作。
前置概念
小测验
微积分基本定理把哪两种运算联系在一起？
- 加法与乘法
- 微分与积分✓
- 极限与连续性
- 乘积与商
练习
对于 g(x)=∫₀ˣ t² dt，用这条定理求 g'(3)。
答案: 9
解答:
- 由定理：g'(x)=x²
- 代入 x=3 → 9
要点: 对累积函数求导，里面的函数就会直接冒出来。
用这条定理计算 ∫₀⁴ 2t dt。
答案: 16
解答:
- 原函数：t²
- [t²]₀⁴ = 16 − 0 = 16
要点: 找到原函数，面积一次相减就求出来了。
d/dx ∫₁ˣ (t³+1) dt 等于什么？用一句话说明原因。
答案: undefined
解答:
- 由定理，= x³+1
- 因为对目前为止累积的面积求导，得到的就是此刻正在注入的值
要点: 下限（1）不影响导数——只有上限 x 起作用。