分析与微积分conceptintermediate
凹凸性与二阶导数
“二阶导数的符号 = 曲线弯曲的方向。”
公式
f''(x) > 0 ⇒ ∪ , f''(x) < 0 ⇒ ∩怎么读: 如果二阶导数为正，曲线是向上凹（∪）；如果为负，曲线是向下凹（∩）
- f''(x)
- — 求两次导数（二阶导数）
- ∪
- — 向上凹（碗形）
- ∩
- — 向下凹（帽形）
引子
再多求一次导，你就能看出曲线正朝哪个方向'弯曲'。
通俗地说
二阶导数f''是斜率的变化率。它的符号告诉你曲线是像碗一样弯（∪）还是像帽子一样弯（∩）。
直觉
如果斜率本身在增大（f''>0），曲线就向上弯成碗形（∪）。如果斜率在减小（f''<0），就是帽形（∩）。f''就是'斜率的斜率'。
如何构建
求一次导得到斜率（f'），再求一次导看这个斜率如何变化（f''）。正号表示向上凹，负号表示向下凹，符号发生变化的地方就是拐点。
示例
对f(x)=x³，f''(x)=6x。在x=1处，f''=6>0，所以是向上凹；在x=−1处，f''=−6<0，所以是向下凹。符号在x=0处发生变化，这就是拐点。
常见误区
人们常把'向上凹（∪）'误标为'凹'。另外，f''=0并不保证是拐点——符号必须真正发生变化。
用在哪里
判断临界点是极大值还是极小值（二阶导数检验法）、图形的精确形状、经济学中的边际效用递减等。
从何而来
曲率（弯曲的剧烈程度）这一想法可以追溯到牛顿和莱布尼茨；二阶导数成为读出曲率符号的简单工具。
前置概念
小测验
f(x)=x²的二阶导数f''(x)是多少？
- 2x
- 2✓
- 0
- x²
练习
f(x)=x³的f''(2)是多少？
答案: 12
解答:
- f'(x)=3x²
- f''(x)=6x
- 代入x=2 → 12
要点: 求两次导得到二阶导数。
f(x)=x⁴的f''(1)是多少？
答案: 12
解答:
- f'(x)=4x³
- f''(x)=12x²
- 代入x=1 → 12
要点: f''>0，所以在x=1附近曲线是向上凹的。
求f(x)=x³−3x²的拐点的x坐标。
答案: undefined
解答:
- f'(x)=3x²−6x
- f''(x)=6x−6
- 令其为0：6x−6=0 → x=1（符号在此处发生变化，所以这是拐点）
要点: 拐点是f''=0且符号发生变化的地方。