分析与微积分formulaintermediate
乘积法则
“乘积法则：一次对一个求导，再相加。”
公式
(f·g)' = f'·g + f·g'怎么读: 乘积的导数等于'对第一个求导、保留第二个'再加上'保留第一个、对第二个求导'
- f, g
- — 相乘的两个函数
- f', g'
- — 每个函数各自的导数
- f'g + fg'
- — '第一个求导 × 保留第二个' + '保留第一个 × 第二个求导'
引子
最常见的错误是以为 (fg)' = f'g'——乘积的导数没有这么简单。
通俗地说
要对两个函数的乘积求导，需分别对每个函数求导，再把两个结果相加。
直觉
想象一个宽为 f、高为 g 的矩形，面积是 fg。稍微推动每条边，面积会以两种方式增长——一是宽度增长带来的（f'g），二是高度增长带来的（fg'）。两者之和就是面积的增长速率。
如何构建
分成两部分——f'g（只有第一个变化时的贡献）和 fg'（只有第二个变化时的贡献）。两者同时变化产生的极小一块（f'g'·h）在 h→0 时消失，所以不会留下来。
示例
设 f=x²，g=x³：f'g+fg' = 2x·x³ + x²·3x² = 2x⁴+3x⁴ = 5x⁴。而 x²·x³=x⁵ 求导正好也是 5x⁴——完全吻合。
常见误区
(fg)' ≠ f'g'。分别求导再相乘是错的。你必须把两项加起来。
用在哪里
凡是出现两个变化量相乘的地方——速度×质量、长×宽——都会用到。它也是后续更复杂求导法则的基础。
从何而来
莱布尼茨在 1670 年代推导出了乘积的导数，把这条法则确立为我们今天使用的形式。
前置概念
小测验
(f·g)' 等于什么？
- f'g'
- f'g + fg'✓
- f' + g'
- fg
练习
用乘积法则对 h(x)=x·x² 求导，并求 h'(2)。
答案: 12
解答:
- f=x，f'=1；g=x²，g'=2x
- h'=1·x² + x·2x = x²+2x² = 3x²
- 代入 x=2 → 3·4 = 12
要点: 和直接对 x·x²=x³ 求导得到 3x² 一致——验证通过。
用乘积法则对 h(x)=(x+1)(x+2) 求导，并求 h'(1)。
答案: 5
解答:
- f=x+1，f'=1；g=x+2，g'=1
- h'=(x+2) + (x+1) = 2x+3
- 代入 x=1 → 5
要点: 展开后是 x²+3x+2，导数 2x+3——结果一致。
用乘积法则对 h(x)=x²·(x+1) 求导，再展开验证。
答案: undefined
解答:
- f=x²，f'=2x；g=x+1，g'=1
- h'=2x(x+1) + x²·1 = 2x²+2x+x² = 3x²+2x
- 验证：展开为 x³+x²，求导得 3x²+2x——相符
要点: 乘积法则和先展开再求导，结果永远一致。