分析与微积分conceptintermediate
自然对数
“对数是反过来的指数，数的是「乘了多少次」。”
公式
ln x = y ⇔ eʸ = x怎么读: ln x 回答的是「e 要取多少次方才能得到 x」
- ln x
- — 以 e 为底的对数（自然对数）
- e
- — 常数 e ≈ 2.718
- y
- — 使 e 的 y 次方等于 x 的那个指数
引子
对数并不难——它只是反过来的指数，问的是「要乘多少次才能达到这个大小」。
通俗地说
ln x 回答的是「e 要取多少次方才能得到 x」。换句话说，它是指数函数 eˣ 的反函数。
直觉
指数问的是「重复相乘多少次才能达到这个大小？」；对数问的正好相反，「要多少次才能变成这个大小？」。这也是为什么对数能把乘法变成加法——就像数位数一样。
如何构建
它是以 e 为底的特殊对数。说 ln x = y，等价于说 eʸ = x。指数和对数其实是同一个事实的两种说法。
示例
ln 1 = 0（因为 e⁰=1），ln e = 1（e¹=e），ln(e²) = 2。只需数一数「e 被乘了多少次」。
常见误区
ln 和 log 很容易混淆。单独写 log 通常指以 10 为底（常用对数），而 ln 是以 e 为底。
用在哪里
在增长与衰减问题中求「需要多长时间」，通过把乘积变成求和来简化计算，以及在微积分中作为 1/x 的积分出现。
从何而来
纳皮尔发明对数是为了把乘法变成加法，彻底改变了天文计算；以 e 为底的「自然」对数后来因为在微积分中最为顺手而固定下来。
前置概念
小测验
ln e 的值是多少？
- 0
- 1✓
- e
- 2.718
练习
ln 1 是多少？
答案: 0
解答:
- 「e 的多少次方等于 1？」
- e⁰=1，所以 ln 1 = 0
要点: 任何数的 0 次方都是 1——所以 ln 1 = 0。
ln(e³) 是多少？
答案: 3
解答:
- 「e 的多少次方等于 e³？」
- 就是 e³，所以 ln(e³) = 3
要点: ln(eⁿ)=n——直接把指数提出来。
用对数的性质计算 ln(e·e²)。
答案: undefined
解答:
- ln(ab)=ln a+ln b → ln e + ln e² = 1 + 2 = 3
- 检验：e·e²=e³，所以 ln(e³)=3
要点: 对数能把乘积变成求和——这正是它的威力所在。