分析与微积分conceptintermediate
自然常数e
“e是「自然增长」的底数。”
公式
e = lim(n→∞) (1 + 1/n)ⁿ ≈ 2.71828怎么读: 把1/n反复复利n次所趋近的数，约等于2.718
- n
- — 复利的次数（趋向无穷大）
- (1+1/n)ⁿ
- — 经过n步复利后增长到的值
- e
- — 它所趋近的极限值 ≈ 2.71828
引子
e和π一样出名，却远没有π那么被人理解，它几乎藏在自然界所有「增长」的过程里。
通俗地说
取100%的利率，把它切分成越来越细的复利步骤，当步数趋于无穷时，结果会趋近于e ≈ 2.718。
直觉
1美元，年利率100%。如果年底一次性支付，你会得到2美元。分两次各计息一半，得到(1.5)²=2.25美元。切分得越细，增长得越多——但无论切得多细，它都不会超过2.71828…，而是收敛于这个值。
如何构建
关键部分是(1+1/n)ⁿ。括号内是「稍微增长一点(1+1/n)」，指数n是「把这个过程重复n次」。随着n增大，这两股力量互相拉扯，最终稳定在e。
示例
n=1 → 2，n=2 → (1.5)²=2.25，n=12 → 约2.613，n=∞ → 2.71828…。它一直在增长，却永远突破不了e这个天花板。
常见误区
e并不是一个随便的无理数。它是唯一一个使其函数的导数等于自身的底数，这正是它在自然界中如此特别地频繁出现的原因。
用在哪里
连续复利、种群增长、放射性衰变、冷却过程、概率（泊松分布）——任何变化速率与自身大小成正比的过程都会用到它。
从何而来
雅各布·伯努利在一个复利问题中遇到了这个极限，欧拉则把它固定为一个常数，并命名为e。
前置概念
小测验
e的近似值是多少？
- 1.414
- 2.718✓
- 3.141
- 1.618
练习
当n=1时，(1+1/n)ⁿ是多少？
答案: 2
解答:
- (1+1/1)¹ = 2¹
- = 2
要点: 只复利一次得到2，这是通往e的起点。
(1+1/2)²是多少？（分两个半步复利）
答案: 2.25
解答:
- 1+1/2 = 1.5
- 1.5² = 2.25
要点: 步骤越细，就越接近2.718…。
年利率100%，每半年复利一次，1美元一年后变成多少？和连续复利（e）比较一下。
答案: undefined
解答:
- 两个50%的步骤：(1.5)² = 2.25美元
- 如果无限细分地复利，会是e ≈ 2.718美元——更多
要点: 复利分得越细，赚得越多，但天花板是e倍。