指数函数与对数函数
“指数是相乘的世界；对数把它倒放回相加的世界。”
公式
y = aˣ ⇔ x = logₐ y怎么读: a 自乘 x 次得到 y；反过来，要把 a 乘多少次才能到达 y，这就是对数 x
- a
- — 底数——一个不等于 1 的正数（被反复相乘的那个数）
- aˣ
- — a 的 x 次方（指数）
- logₐ y
- — 要把 a 乘多少次才能得到 y（对数）
引子
指数和对数是一对镜像——一个问「你乘了多少次？」，另一个把答案交还给你。
通俗地说
aˣ 是把 a 自乘 x 次；logₐ y 反过来问「要把 a 乘多少次才能到达 y？」。指数与对数互为逆运算。
直觉
指数通过相乘向上爆炸式增长；对数把这场爆炸倒放回去，增长得像数位数一样缓慢。可以把它想成「相乘的世界（指数）」与「相加的世界（对数）」之间的翻译官。
如何构建
当 a>1 时，指数函数 y=aˣ 随 x 增大而急速上升；对数是它的反函数，就是把同一张图沿 y=x 翻折过去。这就是为什么 logₐ(aˣ)=x 与 a^(logₐ y)=y 能相互抵消。
示例
因为 2³=8，反过来就得到 log₂ 8 = 3。「把 2 乘三次得到 8」写成对数就是「以 2 为底 8 的对数是 3」。
常见误区
log(x+y) 并不等于 log x + log y。对数能把乘法变成加法——log(xy)=log x + log y。把这两者搞混，所有对数计算都会出错。
用在哪里
声音的分贝、地震的里氏震级、酸碱度 pH、复利计算、细菌繁殖——凡是「按倍数增长」的事物，都在用指数与对数的语言。
从何而来
纳皮尔在 17 世纪发明对数，是为了「把乘法变成加法，减少计算量」。在计算器出现之前，对数表实实在在地延长了天文学家的工作寿命。
前置概念
小测验
log₂ 8 等于多少？
- 1
- 2
- 3✓
- 8
练习
求 log₂ 16。
答案: 4
- 要把 2 乘多少次才能得到 16？
- 2⁴ = 16，所以 log₂ 16 = 4
要点: 对数问的正是指数是多少。
求 log₁₀ 1000。
答案: 3
- 要把 10 乘多少次才能得到 1000？
- 10³ = 1000，所以 log₁₀ 1000 = 3
要点: 以 10 为底的对数，本质上是一种「数位数」的感觉。
解方程 3ˣ = 81。
答案: 4
- 把 81 写成 3 的幂：81 = 3⁴
- 同底数，所以 x = 4
要点: 对于指数方程，先统一底数，再比较指数。
用一句话说明为什么 logₐ 1 = 0。
答案: undefined
- 它问的是「要把 a 乘多少次才能得到 1？」
- a⁰ = 1（乘零次 → 得到 1）
- 所以 logₐ 1 = 0
要点: 无论底数是什么，1 的对数永远是 0。