二次函数
“二次函数就是抛物线；它的顶点要么是最高点，要么是最低点。”
公式
y = a(x − p)² + q怎么读: 一条顶点为 (p, q) 的抛物线
- a
- — 开口方向（正负号）和开口宽度（大小）
- (p, q)
- — 抛物线的顶点——最大值或最小值所在的点
- x
- — 输入值
引子
如果一次函数是直线，那么二次函数就是抛物线——正是被抛出的球所划出的那条曲线。
通俗地说
y = a(x−p)² + q。图像是一条抛物线，顶点 (p, q) 就是它'最尖'的那一点（最高点或最低点）。
直觉
若 a>0，开口向上（∪），顶点就是'最低点'；若 a<0，开口向下（∩），顶点就是'最高点'。|a| 越大，抛物线越窄越陡。
如何构建
把 y=ax²+bx+c 通过配方整理成 y=a(x−p)²+q 的形式，就能显示出顶点 (p,q)。p 是对称轴的位置，q 是那里的高度。
示例
y=x²−2x−3 = (x−1)²−4。顶点为 (1,−4)；因为 a=1>0，这是一条开口向上的抛物线，最低点在 (1,−4)。y 轴截距是 −3（在 x=0 处）。
常见误区
看漏 a 的符号会把最大值和最小值弄反——a>0 得到最小值（一个底部），a<0 得到最大值（一个顶点）。顶点的 x 坐标也容易搞错，因为 (x−p) 用的是 p。
用在哪里
抛物面天线、喷泉的弧线、面积最大与利润最大的问题——只要问'在哪里最大或最小'，二次函数就会给出答案。
从何而来
伽利略证明了被抛出物体的轨迹正是这条曲线，让抛物线与物理学正式结缘。
前置概念
小测验
y = (x − 2)² + 3 的顶点是什么？
- (2, 3)✓
- (−2, 3)
- (2, −3)
- (3, 2)
练习
对于 y = x²，当 x = 3 时 y 是多少？
答案: 9
- y = 3²
- = 9
要点: 二次函数同样是每个 x 对应一个 y。
y = (x − 1)² − 4 的顶点的 x 坐标是多少？
答案: 1
- 在顶点式 a(x−p)²+q 中，p 就是 x 坐标
- (x − 1)² 给出 p = 1
要点: 在 (x − p) 中，p 就是顶点的 x 坐标。
y = x² − 4x + 3 的顶点的 x 坐标是多少？
答案: 2
- 对称轴 x = −b/(2a) = −(−4)/(2·1)
- = 4/2 = 2
要点: 顶点的 x 坐标可以直接由 −b/2a 得到。
把 y = x² − 4x + 3 配方，并求出顶点。
答案: undefined
- x² − 4x = (x − 2)² − 4
- y = (x − 2)² − 4 + 3 = (x − 2)² − 1
- 顶点 (2, −1)
要点: 配方能立刻显示出顶点。