代数conceptfoundations

一次函数与它的图像

“一次函数就是一条直线，斜率决定「有多陡」。”

公式

y = ax + b

怎么读: 一条斜率为 a、y 轴截距为 b 的直线

a: — 斜率——x 每增加 1，y 上升多少
b: — y 轴截距——x = 0 时 y 的值（起始高度）
x: — 输入值

引子

y=ax+b 就是一条直线——斜率 a 决定「有多陡」，b 决定「从哪儿开始」。

通俗地说

一个规则：输入 x，输出 y = 「a 乘以 x 再加上 b」。画出图像，永远是一条直线。

直觉

a 就是楼梯的陡度——x 每上升 1，y 就爬升 a。b 是起始高度（x=0 时的 y）。知道这两个数，这条直线就完全确定了。

如何构建

a 是斜率 = (y 的变化量)/(x 的变化量)。b 是 y 轴截距，即直线与 y 轴相交处的高度。a 为正，直线向右上方延伸；a 为负，则向右下方延伸。

示例

y=2x−1。当 x=0、1、2 时，y 分别是 −1、1、3。每次 x 增加 1，y 就增加 2——斜率正好是 2。

常见误区

斜率 a 和截距 b 很容易混淆。在 y=3x−2 中，3 是斜率，−2 才是起始高度，而不是 3。

用在哪里

话费套餐（基础费 + 使用费）、匀速运动的距离、温度变化——一切「以恒定速率变化」的关系，都以此为基本模型。

从何而来

把方程和图像联系起来的坐标平面，是笛卡尔在 17 世纪创造的——从那一刻起，方程终于能变成一幅「图画」。

前置概念

一元一次方程坐标平面上的距离

小测验

一次函数 y = 3x − 2 的斜率是多少？

3✓
−2
2
−3

练习

对于 y = 2x + 1，当 x = 3 时 y 是多少？

答案: 7

解答:

y = 2·3 + 1
= 7

要点: 代入 x，就得到直线上的一个点 y。

对于 y = −2x + 5，当 x = 1 时 y 是多少？

答案: 3

解答:

y = −2·1 + 5
= 3

要点: 斜率为负，意味着 x 增大时 y 减小。

过 (1, 2) 和 (3, 8) 两点的直线，斜率是多少？