几何formulafoundations
坐标平面上的距离
“坐标距离公式，说到底就是勾股定理。”
公式
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)怎么读: 两点间的距离等于水平差的平方加垂直差的平方，再开平方根
- x₂ − x₁
- — 两点之间的水平（x）差
- y₂ − y₁
- — 两点之间的垂直（y）差
- d
- — 连接两点的线段长度（直线距离）
引子
网格上两点间的距离，其实就是勾股定理原封不动地搬了过来。
通俗地说
求出两点之间的水平差和垂直差，它们会构成一个直角三角形；连接两点的线段就是它的斜边。所以距离是√(水平差² + 垂直差²)。
直觉
在两点之间画一段「楼梯」——横向走(x₂−x₁)，纵向走(y₂−y₁)。这两条直角边相交成直角，我们想要的「直线」距离正是它们的斜边。距离公式其实就是披着外衣的勾股定理。
如何构建
①水平差x₂−x₁，②垂直差y₂−y₁。③各自平方后相加得到斜边的平方，④开平方根得到距离。平方会抹去符号，所以先减哪个点都无所谓。
示例
(0, 0)与(3, 4)之间的距离：水平差3，垂直差4→√(3² + 4²) = √25 = 5。又是那个3-4-5的直角三角形。
常见误区
忘记先做减法就直接平方，或者把x和y混在一起而不是x对x、y对y相减，都会出错。另外，由于平方会消去符号，按(x₁−x₂)来减也会得到相同的结果。
用在哪里
地图应用中两个地点间的直线距离、游戏角色之间的间隔、数据分析中衡量两点有多「接近」——凡是涉及坐标的场景都会用到。
从何而来
笛卡尔把图形搬到坐标系上（解析几何）之后，原本要用尺规测量的距离，变成了可以直接计算的东西。
前置概念
小测验
点(0, 0)与(6, 8)之间的距离是多少？
- 10✓
- 14
- 48
- 100
练习
点(1, 1)与(4, 5)之间的距离是多少？
答案: 5
解答:
- 水平差：4 − 1 = 3，垂直差：5 − 1 = 4
- d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25
- = 5
要点: 先求出水平差和垂直差，剩下的就是勾股定理。
点(2, 3)与(2, 7)之间的距离是多少？
答案: 4
解答:
- 水平差：2 − 2 = 0，垂直差：7 − 3 = 4
- d = √(0² + 4²) = √16 = 4
要点: x相同意味着两点只在纵向上有差别——只需算y的差。
求(0, 0)与(2, 2)之间的距离的近似值。
答案: 2.83
解答:
- 水平差2，垂直差2
- d = √(2² + 2²) = √8 = 2√2
- 2√2 ≈ 2.83
要点: 算不出整数结果的距离就是无理数——用近似值作答。