几何theoremfoundations
勾股定理
“在直角三角形中，知道两条边就能定住第三条边。”
公式
a² + b² = c²怎么读: 在直角三角形中，两条直角边分别平方后相加，等于斜边的平方
- a, b
- — 构成直角的两条边（直角边）
- c
- — 与直角相对的最长边（斜边）
- a², b², c²
- — 以每条边为边长所作正方形的面积
引子
只要知道一个直角，就能通过另外两条边算出第三条边，而不必去量它。
通俗地说
在直角三角形中，把两条较短的边分别平方后相加，正好等于斜边的平方。
直觉
在三条边上各画一个正方形。两个较小正方形的面积（a²、b²）恰好能拼合填满大正方形（c²）。这不是长度之间的关系，而是一种'面积的平衡'。
如何构建
关键在于那个直角。只有当角度恰好是 90° 时，两条边平方之和才等于斜边的平方。斜边 c 永远在直角的对面——是最长的那条边。
示例
如果两条直角边是 3 和 4，那么 3² + 4² = 9 + 16 = 25。斜边就是 √25 = 5。这就是 3-4-5 成为最著名直角三角形的原因。
常见误区
不要随意把任意一条边当成斜边代入。c 永远是'直角所对的那条边，也是最长的一条'。而且这是一个平方之间的关系，不是 a + b = c。
用在哪里
地图上两点间的距离、屏幕对角线尺寸、检查建筑是否垂直、坐标平面上的距离公式——几乎任何需要'直线距离'的地方都会用到。
从何而来
它以毕达哥拉斯命名，但巴比伦人、埃及人、中国人和印度人早在几千年前就已经知道并使用这个关系。
前置概念
小测验
一个直角三角形的两条直角边是 6 和 8，斜边是多少？
- 10✓
- 12
- 14
- 48
练习
一个直角三角形的两条直角边是 5 和 12，斜边是多少？
答案: 13
解答:
- 5² + 12² = 25 + 144 = 169
- 斜边 = √169 = 13
要点: 5-12-13 是另一组常见的整数直角三角形。
一个直角三角形的斜边是 13，其中一条直角边是 5。另一条直角边是多少？
答案: 12
解答:
- 已知斜边时要做减法：b² = c² − a²
- b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
- b = √144 = 12
要点: 已知斜边和一条直角边时，做减法——不要做加法。
边长为 1 的正方形，对角线是多少？（给出近似值）
答案: 1.41
解答:
- 对角线是一个两直角边都为 1 的直角三角形的斜边
- 1² + 1² = 2，所以对角线 = √2
- √2 ≈ 1.414
要点: 正方形的对角线是边长的 √2 倍——一个无理的、不终止的数。