分析与微积分conceptadvanced

级数的收敛

“只要各项缩小得足够快，无限地加下去仍能得到一个有限的答案。”

公式

S = Σ(n=1..∞) aₙ = lim(N→∞) (a₁ + a₂ + ⋯ + a_N); Σ(n=0..∞) arⁿ = a/(1−r), |r|<1

怎么读: 无穷多项之和被定义为前 N 项部分和所趋近的极限

aₙ: — 级数的第 n 项
Σ(n=1..N): — 仅前 N 项相加得到的有限和
S: — 部分和所趋近的极限——即级数的和
r: — 等比级数的公比——当 |r|<1 时收敛

引子

把无穷多个数相加，仍可能得到一个有限的答案——1 + ½ + ¼ + ⅛ + ⋯ = 2。

通俗地说

无穷级数的'和'并不是真的一直加到最后。你先求出前 N 项的部分和；如果这个值随着 N 增大而趋近某个数 S，就说这个级数'收敛于 S'。

直觉

假设你穿过一个房间，每一步都走完剩余距离的一半：½、¾、⅞……你永远走不到墙边，但走过的总距离会趋近 1（整个房间）。无穷多个碎片能装进一面有限的墙里。

如何构建

关键在于各项 aₙ 收缩到 0 的速度。如果每次减半（公比 ½），部分和会逐渐逼近一堵墙，从而收敛。如果收缩得太慢，部分和就会无限增长而发散。等比级数在 |r|<1 时恰好收敛到 a/(1−r)。

示例

Σ(n=0..∞)(½)ⁿ = 1 + ½ + ¼ + ⅛ + ⋯。部分和依次是 1、1.5、1.75、1.875、…→ 2。用公式，a=1，r=½ 得到 1/(1−½)=2。

常见误区

各项趋近于 0 就能保证收敛吗？不能。调和级数 1 + ½ + ⅓ + ¼ + ⋯ 的各项趋近于 0，却发散到无穷大。趋近于 0，不等于'足够快地'趋近于 0。

用在哪里

无穷小数展开、年金的现值、用泰勒级数逼近函数、迭代计算中的误差分析——凡是需要用有限方式处理无穷的地方，都离不开级数收敛。

从何而来

芝诺悖论（阿喀琉斯追不上乌龟）困扰了人们两千多年，直到柯西用部分和的极限这一定义，把'无穷和'变得严谨起来。

前置概念

西格玛记号与数列求和数列的极限

小测验

Σ(n=0..∞)(1/3)ⁿ = 1 + 1/3 + 1/9 + ⋯ 等于多少？

3/2✓
1/2
3
发散

练习

求 Σ(n=0..∞)(1/2)ⁿ = 1 + 1/2 + 1/4 + ⋯ 的和。

答案: 2

解答:

等比级数，a=1，r=1/2
a/(1−r) = 1/(1−1/2) = 2

要点: 等比级数的和就是 a/(1−r)。

求 Σ(n=1..∞)(1/2)ⁿ = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ 的和。

答案: 1

解答:

首项 a=1/2，公比 r=1/2
a/(1−r) = (1/2)/(1/2) = 1

要点: 求和从哪一项开始，会改变首项 a。

求 Σ(n=0..∞)(0.9)ⁿ 的和。

答案: 10

解答:

a=1，r=0.9
1/(1−0.9) = 1/0.1 = 10

要点: r 越接近 1，和就会膨胀得越大。

调和级数 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ 是收敛还是发散？