点积与叉积
“点积是「有多对齐？」（一个数）；叉积是「垂直于什么？」（一个向量）。”
公式
a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a||b|cosθ; |a×b| = |a||b|sinθ怎么读: 点积用一个数衡量两个向量有多「同向」；叉积构造出一个同时垂直于两者的新向量
- a·b
- — 点积——结果是一个数（标量），衡量「有多对齐」
- a×b
- — 叉积——结果是一个向量，指向「同时垂直于两者的方向」
- θ
- — 两个向量之间的夹角
引子
向量相乘有两种方式——一种问「它们有多同向？」（点积），另一种问「哪个方向同时垂直于两者？」（叉积）。
通俗地说
点积a·b是一个衡量两个向量有多对齐的数。叉积a×b是一个新向量，垂直于这两个向量所张成的平面。
直觉
点积：就像手电筒(a)照在墙上（方向b）投下的影子长度——方向一致时很长，垂直时为0，方向相反时为负。叉积：就像推门时垂直升起的门轴——一支从a和b所在平面正中垂直伸出的箭头，长度等于两个向量所张成的平行四边形的面积。
如何构建
点积把对应分量相乘后相加：a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃，等于|a||b|cosθ——余弦捕捉的正是「对齐程度」。叉积的模是|a||b|sinθ，捕捉的是「垂直的那部分」，方向遵循右手定则（右手四指从a弯向b，拇指指向a×b的方向）。
示例
对a=(1,0,0)，b=(0,1,0)：a·b = 1·0+0·1+0·0 = 0（垂直，所以是0）。叉积是(0,0,1)——z轴，同时垂直于x轴和y轴，模为|a||b|sin90°=1。一个二维点积的例子：(3,4)·(2,1) = 6+4 = 10。
常见误区
这两者很容易混淆——点积的结果是没有方向的数（标量），而叉积的结果是一支箭头（向量）。另外，点积为0意味着「垂直」，而叉积为0意味着「平行（同向）」。注意这两个条件正好相反。
用在哪里
点积：功（力·位移）、投影与相似度（搜索和推荐中的余弦相似度）、光照亮度。叉积：转矩和角动量、法向量（3D图形中的表面朝向）、磁力F=qv×B——是物理学和计算机图形学的支柱。
从何而来
这个想法萌芽于19世纪哈密顿的四元数；吉布斯和赫维赛德对其加以完善，从中分离出了如今向量各自独立的点积和叉积。
前置概念
小测验
(1,2,3)·(4,0,0)的值是多少？
- 4✓
- 6
- 0
- 9
练习
求点积(3,4)·(1,2)。
答案: 11
- 把对应分量相乘后相加：3·1 + 4·2
- = 3 + 8 = 11
要点: 点积=各分量乘积之和；结果是一个数。
求点积(2,0,0)·(0,5,0)。这个结果在几何上意味着什么？
答案: 0
- 2·0 + 0·5 + 0·0 = 0
- 点积为0 → 这两个向量互相垂直
要点: 点积为0=垂直。x轴和y轴互相垂直，所以它们的点积是0。
已知|a|=2，|b|=3，夹角为直角（θ=90°），求叉积的模|a×b|。
答案: 6
- |a×b| = |a||b|sinθ = 2·3·sin90°
- sin90°=1 → 2·3·1 = 6
要点: 叉积的模=两个向量所张成的平行四边形的面积。
用cosθ和sinθ解释一下，为什么点积为0意味着「垂直」，而叉积为0意味着「平行」。
答案: undefined
- 点积=|a||b|cosθ；当θ=90°时，cos90°=0 → 点积为0（垂直）
- 叉积的模=|a||b|sinθ；当θ=0°时，sin0°=0 → 叉积为0（平行）
- 余弦衡量「对齐程度」，正弦衡量「展开程度」——条件正好相反
要点: 点积用cos（对齐程度），叉积用sin（垂直部分）——归零的条件正好相反。