几何conceptintermediate
向量
“向量就是一支箭头：「多少」加上「朝哪个方向」。”
公式
|v| = √(x² + y²)怎么读: 向量的大小，是由它的水平分量 x 和垂直分量 y 构成的直角三角形的斜边
- v
- — 向量——同时具有大小和方向的量
- (x, y)
- — 向量的分量（水平方向和垂直方向的数值）
- |v|
- — 向量的大小（长度）
引子
速度、力、风——有些量光知道「多少」还不够，还得知道「朝哪个方向」。这就是向量。
通俗地说
向量是一支同时带有大小和方向的箭头。横向移动 x、纵向移动 y，写作 (x,y)。
直觉
向量是一种「移动」，而不是「位置」。不管从哪里出发，向右 3、向上 4 的箭头都是同一个向量。把两个向量相加，就是把第二支箭头接在第一支箭头的箭尖上——这就是为什么只需逐分量相加。
如何构建
向量 (x,y) 的大小，是原点到该点的距离——也就是直角三角形的斜边，由勾股定理得 √(x²+y²)。加法按分量进行：(x₁,y₁)+(x₂,y₂)=(x₁+x₂, y₁+y₂)。
示例
v=(3,4) 的大小是 √(3²+4²)=√(9+16)=√25=5。这支向右 3、向上 4 的箭头，长度正好是 5。
常见误区
向量的大小「不是」x+y。(3,4) 的大小是 5，不是 7——它是对角线长度，必须先平方、再相加、最后开方。
用在哪里
物理学中的力、速度、加速度；游戏中角色的移动；导航中的航向；3D 图形——凡是处理「有方向的量」的地方都会用到。
从何而来
向量的概念在19世纪的物理学（尤其是电磁学）中为处理力和速度而逐渐完善；哈密顿和吉布斯确立了今天使用的记法。
前置概念
小测验
向量 (3, 4) 的大小是多少？
- 5✓
- 7
- 12
- 25
练习
求向量 (6, 8) 的大小。
答案: 10
解答:
- √(6² + 8²) = √(36 + 64)
- = √100 = 10
要点: 求大小要先把各分量平方，相加后再开方。
求向量 (1, 2) + (3, 4) 的 x 分量。
答案: 4
解答:
- 逐分量相加
- x 分量：1 + 3 = 4
要点: 向量加法是逐分量进行的。
求向量 (5, 0) 的大小。
答案: 5
解答:
- √(5² + 0²) = √25
- = 5
要点: 沿单一坐标轴方向的向量，其大小就等于该分量的值。
解释为什么 (−3, 4) 与 (3, 4) 的大小相同。
答案: undefined
解答:
- |(−3,4)| = √((−3)² + 4²) = √(9+16) = 5
- 平方会消去符号
- 只是方向不同，长度是一样的
要点: 大小忽略方向（符号），只衡量长度。