几何formulafoundations
多边形的内角与外角
“多边形的角度和，说到底就是「它能切成多少个三角形」。”
公式
(n − 2) × 180°怎么读: 把 n 边形的所有内角加起来，等于 (n−2) 乘以 180°
- n
- — 多边形的边数（或顶点数）
- n − 2
- — 多边形被分割成的三角形个数
- 180°
- — 一个三角形内角之和
引子
无论一个多边形看起来多复杂，它的内角和都只由一个数字决定——边的数量。
通俗地说
把 n 边形的内角加起来，等于 (n−2) × 180°。而凸多边形的外角和永远是 360°。
直觉
从一个顶点出发画出对角线，把多边形切成若干三角形。n 边形会被切成 (n−2) 个三角形。每个三角形的内角和是 180°，所以整个内角和就是把 180° 加了 (n−2) 次。
如何构建
① 内角和 = 三角形个数 (n−2) × 180°。② 每个外角是你在一个顶点转过的角度，把它们全部加起来正好转完一整圈 = 360°。无论边数多少，这个 360° 都不会变。
示例
五边形（n=5）的内角和为 (5−2) × 180° = 3 × 180° = 540°。如果是正五边形，每个角为 540° ÷ 5 = 108°。
常见误区
有人以为外角和会随边数变化，但对任何凸多边形来说它永远是 360°。此外，也容易把 (n−2) 误记成 (n−1) 或 n。
用在哪里
镶嵌铺砖（密铺）、足球和建筑中的角度设计、计算正多边形单个角的大小——任何需要角度严丝合缝的设计都会用到它。
从何而来
它建立在欧几里得「三角形内角和为 180°」这一基本事实之上，再加上把多边形切成三角形的思路。
小测验
六边形（n=6）的内角和是多少？
- 540°
- 720°✓
- 900°
- 1080°
练习
八边形（n=8）的内角和是多少度？
答案: 1080
解答:
- (n−2) × 180° = (8−2) × 180°
- 6 × 180° = 1080°
要点: 把 n 代入公式即可——八边形相当于 6 个三角形。
正五边形的一个内角是多少度？
答案: 108
解答:
- 内角和：(5−2) × 180° = 540°
- 正五边形有五个相等的角：540° ÷ 5 = 108°
要点: 对于正多边形，用内角和除以边数即可。
正十二边形的一个外角是多少？先在笔记本上写出外角和永远等于多少。
答案: 30
解答:
- 凸多边形的外角和永远是 360°
- 正十二边形的外角相等：360° ÷ 12 = 30°
要点: 外角更简单——它们总是加起来等于 360°，直接除以边数即可。