条件概率
“条件概率就是把「世界缩小到A」之后重新衡量B。”
公式
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)怎么读: 在A发生的条件下B发生的概率，等于A和B同时发生的概率除以A发生的概率
- P(B|A)
- — 在A已经发生的条件下B发生的概率
- P(A∩B)
- — A和B同时发生的概率
- P(A)
- — 条件事件A发生的概率
引子
「下雨的概率」和「阴天时下雨的概率」是不同的——一条新信息就能彻底改写概率。
通俗地说
在事件A已经发生的前提下，B发生的概率。把「世界」缩小到A，再来衡量B。
直觉
条件一出现，「全部情况」这个整体就变了。不再用整个样本空间，而是只保留「A已经发生的世界」，重新衡量B在其中所占的比例。这就是为什么要用A∩B除以A——分母从全部缩小到了A。
如何构建
分子是A和B同时发生的情形，即P(A∩B)；分母是缩小后的新整体，即P(A)。整理后可得P(A∩B)=P(A)·P(B|A)，也就是把连续事件串联起来的「乘法法则」。
示例
掷一枚骰子，A=偶数(2,4,6)，B=至少是4(4,5,6)。已知是偶数，求是≥4的概率？3个偶数中{4,6}满足≥4→2/3。用公式算也一样：(2/6)/(3/6)=2/3。
常见误区
P(B|A)和P(A|B)不是一回事。把「患病时检测为阳性的概率」和「检测为阳性时患病的概率」搞混，会在医学和法庭上造成严重错误。
用在哪里
医学诊断（在检测呈阳性的条件下患病的概率）、垃圾邮件过滤、推荐算法、审判中权衡证据——凡是「根据新信息更新判断」的场景都会用到。
从何而来
把条件概率反过来推断原因的想法，促成了18世纪贝叶斯牧师的定理，如今已成为人工智能推理的基石。
前置概念
小测验
若P(A)=0.5，P(A∩B)=0.2，求P(B|A)。
- 0.2
- 0.4✓
- 0.5
- 0.7
练习
若P(A)=0.4，P(A∩B)=0.1，求P(B|A)。
答案: 0.25
- P(B|A) = P(A∩B)/P(A) = 0.1/0.4
- = 0.25
要点: 用联合概率除以条件的概率。
已知掷出的骰子点数是偶数，求这个数至少是4的概率。
答案: 0.667
- 偶数是{2,4,6}，共三个
- 其中≥4的是{4,6}，共两个
- 2/3 ≈ 0.667
要点: 条件把样本空间缩小到了偶数集合。
若P(A)=0.6，P(A∩B)=0.3，求P(B|A)。
答案: 0.5
- 0.3 / 0.6
- = 0.5
要点: 分母是缩小后的新整体。
用一句话解释为什么条件概率的分母是P(A)。
答案: undefined
- 已知A发生，把整个世界缩小到了A
- 此时B所占的比例必须「在A之内」衡量
- 所以要除以P(A)
要点: 条件就像一面镜片，让A变成了新的整体。