数与运算conceptfoundations

循环小数

“循环小数是穿着另一套衣服的分数。”

公式

0.ddd… = d/9, 0.abab… = ab/99

怎么读: 一位数字循环，就是那个数字除以 9；两位数字循环，就是它们除以 99

0.ddd…: — 一个数字 d 无限循环的循环小数
d/9: — 循环的数字除以 9
ab/99: — 如果两位一组的 ab 在循环，就除以 99

引子

像 1/3 = 0.333… 这样永无止境的小数，其实只是一个整洁分数换了一副面孔。

通俗地说

小数点后同一组数字无限循环的小数。它总能被还原成分数。

直觉

用 1 除以 3，余数会一直以同样的模式循环，得到 0.333…。因为余数的可能取值只有有限个，循环是必然会发生的——这就是为什么每个分数变成小数后，要么终止，要么循环。

如何构建

还原回分数的技巧是：设 x = 0.ddd…，乘以 10 后相减。对 x=0.333…，10x=3.333…，10x−x=3，9x=3，x=3/9=1/3。这就是'数字除以若干个 9（循环位数决定 9 的个数）'这条规则的来历。

示例

把 0.777… 化成分数。x=0.777…，10x=7.777…，相减得 9x=7，所以 x=7/9。而事实上 7÷9=0.777…。

常见误区

0.999… 不是仅仅'接近'1——它就是 1，一模一样。若 x=0.999…，则 10x−x=9，所以 9x=9，x=1。这只是同一个数的另一种写法。

用在哪里

分数与小数之间的换算、判断计算器显示的小数究竟是什么、理解为什么每个有理数都是'终止或循环'的小数。

从何而来

分数相除产生循环余数这一事实早已为人所知，记号最终定为在循环部分上方加点或加横线来标示。

前置概念

有理数的四则运算

小测验

0.555… 写成分数是多少？

5/9✓
5/10
1/5
5/99

练习

0.888… 写成分数是多少？

答案: 0

解答:

一位数字 8 循环 → 把它放在 9 的上面
0.888… = 8/9

要点: 单个数字循环的小数，就是那个数字除以 9。

0.121212… 写成分数是多少？

答案: 0

解答:

两位一组的 12 在循环 → 把它放在 99 的上面
0.121212… = 12/99

要点: 两位数字循环就除以 99（每个循环位对应一个 9）。

把 0.444… 化成分数。

答案: undefined

解答:

设 x = 0.444…，那么 10x = 4.444…
10x − x = 4，所以 9x = 4
x = 4/9

要点: 乘以 10 再相减，能消去循环的尾巴。

通过计算证明 0.999… = 1。