集合与文氏图
“并集就是'先加起来，再把重叠部分减去一次'。”
公式
n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)怎么读: 并集的大小是把两个集合的大小相加，再减去被重复计入一次的重叠部分
- A∪B
- — 并集——A 或 B 中的每一个元素
- A∩B
- — 交集——同时属于 A 和 B 的元素
- n(A)
- — 集合 A 中元素的个数
引子
把 A 和 B 一起计数时，不能直接相加——那样会把重叠部分算了两次。
通俗地说
并集的大小是两个集合的大小相加，再把重叠部分（交集）恰好减去一次。
直觉
想象两个相交圆圈组成的文氏图。如果直接把两个圆相加，中间重叠的部分就被数了两次。减去一次，才能得到真正的'合计'数量。
如何构建
用 n(A) 数 A、用 n(B) 数 B，交集从两边各被数了一次——一共两次。要让它只留一次，就要减去 n(A∩B)。
示例
一个班里，18 人喜欢足球，12 人喜欢篮球，5 人两者都喜欢，所以至少喜欢一项的人数是 18+12−5 = 25。
常见误区
很容易漏掉或重复计算'两者都'的那部分。重叠部分被加了两次，所以必须减去一次。
用在哪里
统计调查结果、数据分类、概率中的加法法则、搜索过滤（且/或）——任何需要对重叠群体计数的地方都用得到。
从何而来
19 世纪，康托尔把'集合'确立为数学的基础语言，而约翰·文恩则让用圆圈画出重叠部分的方式广为流传。
小测验
若 n(A)=10，n(B)=7，n(A∩B)=3，那么 n(A∪B) 是多少？
- 14✓
- 17
- 20
- 3
练习
若 n(A)=8，n(B)=6，n(A∩B)=2，求 n(A∪B)。
答案: 12
- 公式：n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)
- 8+6−2 = 12
要点: 不要忘记把重叠部分（交集）减去一次。
在 30 人的班级中，14 人养狗，10 人养猫，4 人两者都养。养狗或养猫的一共有多少人？
答案: 20
- '养狗或养猫'就是并集
- 14+10−4 = 20
要点: '或'意味着并集——把'两者都'的重叠部分减去一次。
若 n(A)=9，n(B)=5，n(A∪B)=11，求交集 n(A∩B)。
答案: 3
- 变形公式：n(A∩B)=n(A)+n(B)−n(A∪B)
- 9+5−11 = 3
要点: 把同一个公式反过来用，也能求出交集。
40 人中，22 人喜欢数学，18 人喜欢英语，8 人两者都喜欢。在草稿纸上算出两者都不喜欢的有多少人。
答案: undefined
- 至少喜欢一项的人数（并集）= 22+18−8 = 32
- 两者都不喜欢 = 总数 − 并集 = 40 − 32 = 8
要点: 总数减去并集，就是两个圆圈之外'都不喜欢'的区域。