可数无穷
“可数无穷是「可以编号的无穷」；实数则是连编号都做不到的更大的无穷。”
公式
|ℕ| = |ℤ| = |ℚ| = ℵ₀ < |ℝ|怎么读: 自然数、整数和有理数都可以编号为1,2,3,…，因此它们拥有相同大小的无穷ℵ₀，而实数则是更大的无穷
- ℵ₀
- — 阿列夫零——最小的无穷，也就是「可数」无穷的大小
- ℕ
- — 自然数集——衡量可数无穷的基准
- ℝ
- — 实数集——一种不可数的（更大的）无穷
引子
你可能以为所有的无穷都同样无穷——其实不然。存在可数无穷与不可数无穷：不同大小的无穷是真实存在的。
通俗地说
如果一个无穷集合的元素可以编号为1,2,3,…且没有遗漏，它就是「可数无穷」的。自然数、整数、有理数都符合这个条件。但实数即便在原理上也无法这样编号——它们是更大的无穷。
直觉
如果两个无穷集合的元素能够一一配对且没有剩余（一一对应），它们就「大小相同」。想象希尔伯特旅馆——它有无穷多间房，全部住满，但当一位新客人到来时，只要把每位客人都移到下一个房间(n→n+1)，1号房就空出来了。「住满的无穷」竟然还能腾出空位！只要存在这样的配对，它们就是同样大小的无穷。
如何构建
就连偶数本身也和自然数一样大：n↔2n能把它们完美配对（部分等于整体——无穷的悖论）。整数也可以排成0,1,−1,2,−2,…来编号。甚至有理数也能通过沿对角线扫过一张表格来数清楚。相比之下，实数被康托尔的「对角线论证」证明是不可数的。
示例
假设你列出了每一个实数——0.a₁a₂a₃…，0.b₁b₂b₃…，……现在通过改变每个对角线上的数字（第1个数的第1位、第2个数的第2位、……）构造一个新数。这个新数与列表中每一个数至少有一位不同，所以它不在列表中——没有任何列表能容纳所有实数。因此|ℝ| > ℵ₀。
常见误区
一个常见的错误是「无穷+1=无穷，所以所有无穷都相等」。相加不会使它变大，但像实数这样「阶数不同」的无穷永远无法与自然数一一配对。无穷是存在真正的层级的。
用在哪里
算法能解决哪些问题（可计算性）、绝大多数实数「无法命名」这一事实、概率中「几乎所有」数都是无理数、逻辑中的无穷层级——现代数学与计算机科学的一块基石。
从何而来
1874年，格奥尔格·康托尔证明了「无穷是有大小之分的」，由此创立了集合论。这在当时被视为异端邪说，但希尔伯特为他辩护道：「没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去。」
前置概念
小测验
以下哪一个是「不可数」（更大）的无穷集合？
- 全体整数
- 全体偶数
- 全体有理数
- 全体实数✓
练习
希尔伯特旅馆有无穷多间房，且全部住满。当一位新客人到来时，客人们该如何移动才能腾出房间？
答案: 3
- 把每位客人从n号房移到n+1号房
- 这样就腾空了1号房，留给新客人
- 即便是住满的无穷，也能腾出空位
要点: 可数无穷通过「让所有人都挪一位」腾出新空间——这就是无穷的悖论。
在自然数与偶数的一一对应n ↔ 2n中，n=7对应的是什么？
答案: 14
- 规则是n ↔ 2n
- 7 ↔ 2·7 = 14
要点: 子集（偶数）与整体（自然数）大小相同——这只有在无穷的情况下才可能。
全体有理数构成的集合是「可数」无穷吗？
答案: 0
- 把分数排成一张表格，沿对角线之字形扫过，编号为1,2,3,…
- 跳过重复的（可约分的分数），没有遗漏任何一个
- 所以有理数是可数的，大小为ℵ₀
要点: 有理数看起来很稠密，却依然可以被编号——与自然数大小相同。
在笔记本上解释一下，为什么康托尔的对角线论证能证明实数是不可数的。
答案: undefined
- 假设你已经列出了每一个实数（做出一份完整的列表）
- 通过把每个对角线上的数字改成不同的值，构造一个新的实数
- 这个新数在第n位上与第n个列表数不同，所以它与任何一个都不匹配→它不在列表中
- 矛盾→没有任何列表能容纳所有实数（不可数）
要点: 对角线论证：假设存在「完整列表」，你总能构造出一个缺失的数→|ℝ| > ℵ₀。