数与运算conceptfoundations

无理数与实数

“无理数永不终止，也永不重复——没有任何分数能装下它。”

引子

把 √2 写成小数——1.41421356…——没有尽头，也没有规律。一个永远无法写成分数的数：无理数就此登场。

通俗地说

能写成分数（整数/整数）的数是有理数，写不成的就是无理数。两者合在一起构成实数。

直觉

把一个数展开成小数：如果它终止（0.5）或不断重复同一段（0.333…），它就是有理数。如果它永不终止也永不重复——比如 √2、π、圆周与直径之比——它就是无理数。

如何构建

实数分两类——有理数（能写成分数）和无理数（不能）。数轴上每一点都对应一个实数，无理数就填满了有理数之间的空隙。

示例

√2 是无理数吗？因为 1.4²=1.96、1.5²=2.25，所以 √2 落在 1.4 和 1.5 之间。无论添加多少位数字，它都不会恰好落定，而且已经证明它不能写成分数。

常见误区

带 √ 号不一定就是无理数。√9=3、√16=4 是完全平方数，所以它们是有理数。无理数来自开不尽的根，比如 √2 和 √3。

用在哪里

圆的周长与面积（π）、对角线的长度（√2）、自然增长（e）——精确度量真实的形状与自然，离不开无理数。

从何而来

毕达哥拉斯学派相信「万物皆分数」，但希帕索斯证明 √2 并非如此，这动摇了整个学派；传说他因此被逐出师门。

前置概念

平方根

小测验

下列哪个数是无理数？

0.5
1/3
√2✓
−4

练习

选出无理数。

答案: 2

解答:

1.5 = 3/2 和 2/7 都是分数 → 有理数
√4 = 2 → 有理数
√3 = 1.732… 永不落定 → 无理数

要点: 开不尽的根号（非完全平方数）才会产生无理数。

选出有理数。

答案: 2

解答:

√2、√5、π 永不终止也永不重复 → 无理数
√9 = 3 → 有理数

要点: 当根号内是完全平方数时，根式就化简为有理数。

0.777… 是有理数吗？说明理由。

答案: undefined

解答:

数字 7 按规律不断重复（循环小数）
0.777… = 7/9，这是一个分数
→ 有理数

要点: 循环小数总能写成分数，所以它是有理数。

用一句话解释为什么 √2 不能写成分数（为什么它是无理数）。