线性变换
“矩阵是动词，不是名词——它是让空间运动起来的一个动作。”
公式
T(v) = Av, T(u+v) = T(u)+T(v), T(cu) = c·T(u)怎么读: 一种把点 v 乘以矩阵 A 来移动它、同时保持加法和数乘的映射
- A
- — 定义这个映射的矩阵——它的每一列表示基向量落到了哪里
- T(u+v)=T(u)+T(v)
- — 可加性——先移动再相加，等于先相加再移动
- T(cu)=c·T(u)
- — 数乘性——先伸缩再移动，等于先移动再伸缩
引子
矩阵不是一张数字表格——它是让整个空间同时运动起来的一个动作。
通俗地说
线性变换移动平面（或空间）中的每一个点，同时保持网格线笔直、间距均匀，并让原点固定不动。这种井然有序的运动，可以完全由一个矩阵来描述。
直觉
想象一张橡皮网格。线性变换可以拉伸、旋转或剪切它，但绝不会弯曲或撕裂它。直线依然是直线，平行线依然平行。惊人之处在于：只要知道基向量 (1,0) 和 (0,1) 各自去了哪里，每个点的落点就完全确定了——而这两个落点，正好就是矩阵的两列。
如何构建
两条规则就是一切：可加性 T(u+v)=T(u)+T(v) 和数乘性 T(cu)=cT(u)。它们让你可以把任意向量拆成基向量的组合，分别移动再相加——这正是矩阵与向量的乘积 Av 之所以是这个变换的原因。
示例
A=[[2,0],[0,3]] 在 x 方向拉伸 2 倍，在 y 方向拉伸 3 倍。点 (1,1) 变成 (2·1, 3·1)=(2,3)。它的两列 (2,0) 和 (0,3)，正是 (1,0) 和 (0,1) 的落点。
常见误区
有人误以为矩阵乘法是「一条要死记硬背的规则」。事实上，它那奇怪的规则正是「依次施加变换」的自然结果——这也是为什么顺序会影响结果（AB ≠ BA）。
用在哪里
计算机图形学中的旋转、缩放和投影，机械臂的坐标变换，数据科学中的降维（主成分分析），物理学中的参考系转换——只要空间被有序地重塑，就有线性变换的身影。
从何而来
凯莱在 19 世纪中叶引入矩阵，把它当作「记录变换的表格」。一个原本用来解方程的工具，最终成了描述空间运动的记号。
前置概念
小测验
把矩阵 [[0,−1],[1,0]] 作用在向量 (1,0) 上。（这个矩阵表示旋转 90°。）
- (1,0)
- (0,1)✓
- (−1,0)
- (0,−1)
练习
把 A=[[2,0],[0,2]] 作用在 (3,5) 上，求所得点的 x 分量。
答案: 6
- x 分量 = 2·3 + 0·5
- = 6
要点: 对角矩阵按各自的元素分别拉伸每条轴。
把剪切变换 A=[[1,1],[0,1]] 作用在 (2,3) 上，求所得点的 x 分量。
答案: 5
- x 分量 = 1·2 + 1·3
- = 5（y 分量保持不变，仍是 3）
要点: 剪切变换按高度成比例地横向滑动。
把 A=[[3,0],[0,3]] 作用在 (4,4) 上，求所得点的 y 分量。
答案: 12
- y 分量 = 0·4 + 3·4
- = 12
要点: 放大 3 倍的矩阵把每个点从原点推远到 3 倍距离。
在笔记本上解释：为什么知道 (1,0) 和 (0,1) 的落点，就能确定每一个点的落点？
答案: undefined
- 任意一点 (a,b) = a·(1,0) + b·(0,1)
- 由可加性和数乘性，T(a,b) = a·T(1,0) + b·T(0,1)
- 所以这两个基向量的落点决定了一切
要点: 线性 = 知道各部分（基向量），整体就随之而定。