中心极限定理
“中心极限定理：把足够多的东西加起来，它就会变成钟形。”
公式
(x̄ₙ − μ) / (σ/√n) → N(0, 1) (n → ∞)怎么读: 不管原始分布是什么样子，大样本的平均值所服从的分布都会趋近于正态（钟形）分布
- x̄ₙ
- — 样本量为n的样本均值
- μ
- — 原始分布的均值
- σ/√n
- — 样本均值的标准误——它波动的大小
- N(0,1)
- — 标准正态分布（均值0、标准差1的钟形分布）
引子
一颗骰子的分布是平的，但十颗骰子的和却是钟形的。这正是这个世界处处是钟形曲线的原因。
通俗地说
中心极限定理说的是：不管原始分布的形状如何——平坦或偏斜——只要收集足够多独立样本并计算它们的平均值（或总和），这些平均值的分布就会趋近于正态（钟形）分布。
直觉
把许多微小、独立的随机因素加在一起，极端情况（全大或全小）很少见，而中间情况（有加有减、相互抵消）很常见。所以结果呈钟形，中间隆起。不管每个成因本身是什么形状——加的够多，钟形就会出现。这就是为什么身高、测量误差、骰子点数之和都是钟形的。
如何构建
两个要素——中心μ和离散程度σ/√n。样本均值会聚集在真实均值μ周围（大数定律），而这团聚集的宽度就是标准误σ/√n。随着n增大，宽度会收窄，形状也会趋于一条平滑的正态曲线。这个定理说的是分布的形状，而不只是中心的位置。
示例
一颗骰子给出平坦的分布——1到6等可能（均值3.5）。但掷十颗骰子求和，这个和会在35附近堆成钟形。平坦的输入产生了钟形的输出。
常见误区
这个定理说的是样本均值（或总和）的分布，而不是原始数据本身。原始数据可以任意偏斜——变成钟形的是许多数值平均值的分布，而不是数据本身。
用在哪里
正态分布无处不在的根本原因、民调中的误差范围、置信区间、质量管理中的控制图、A/B测试、测量误差分析——几乎所有从样本进行的推断都依赖这个定理。
从何而来
棣莫弗在1733年最早在硬币抛掷中发现了它，拉普拉斯将其推广，李雅普诺夫和林德伯格在20世纪初使之严谨化。'中心'的意思是'具有核心重要性'。
前置概念
小测验
根据中心极限定理，许多独立变量的样本均值分布会趋近于哪种分布？
- 均匀分布（平坦）
- 正态分布（钟形）✓
- 偏斜分布
- 二项分布
练习
标准差σ=10，样本量n=100，求样本均值的标准误σ/√n。
答案: 1
- √n = √100 = 10
- σ/√n = 10/10 = 1
要点: 样本越大，均值的波动σ/√n越小。
σ=20，n=4，求标准误σ/√n。
答案: 10
- √n = √4 = 2
- σ/√n = 20/2 = 10
要点: 标准误与√n成反比。
如果样本量n增大到4倍，均值的标准误会缩小为原来的多少倍？
答案: 2
- 标准误是σ/√n
- n变为4倍意味着√n翻倍→误差减半（缩小为1/2）
要点: 要把精度提高一倍，样本量要变为原来的4倍。
用中心极限定理解释，为什么许多自然量（身高、测量误差）都是钟形的。
答案: undefined
- 这类数值往往是许多微小、独立因素的总和
- 根据中心极限定理，许多微小效应叠加起来会趋近于正态分布
- 所以不管成因是什么，结果都会呈现钟形
要点: 许多微小成因叠加→钟形。这就是中心极限定理要说的。