正态分布
“正态分布就是 68-95-99.7——离均值越远，出现的概率骤然越低。”
公式
P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 0.68怎么读: 在正态分布中，大约 68% 的数据落在均值 μ 的一个标准差 σ 范围内
- μ
- — 均值——分布的中心（峰值所在位置）
- σ
- — 标准差——数据的离散程度（宽度）
- 68%
- — 落在均值 ±1σ 范围内的数据所占比例
引子
身高、考试分数、测量误差——来自自然界和社会的无数数据，似乎不约而同地堆积成同一种「钟形」。这就是正态分布。
通俗地说
一种关于均值对称的钟形分布。数据在均值附近最密集，越往两边越迅速变稀疏。
直觉
当许多微小、独立的因素随机叠加时，结果就会堆成钟形。中心（均值 μ）是峰值所在，离散程度（标准差 σ）是钟形的宽度。σ 小则又高又窄，σ 大则又矮又宽——μ 决定位置，σ 决定宽窄。
如何构建
关键是「68-95-99.7 法则」。大约 68% 的数据落在均值 ±1σ 内，大约 95% 落在 ±2σ 内，大约 99.7% 落在 ±3σ 内。只要记住这三个数字，就能估算几乎任何正态分布。
示例
一场考试均值为 60、标准差为 10：大约 68% 的学生得分在 50–70 之间（±1σ），大约 95% 的学生得分在 40–80 之间（±2σ）。
常见误区
并非所有数据都呈正态分布。像收入这样右偏的数据就不是钟形。而且 ±2σ 覆盖的是 95%，不是 100%——仍有 5% 落在范围之外。
用在哪里
按曲线评分（标准分），质量管理中的控制界限，民意调查中的误差范围，金融风险度量——统计推断的基本量尺。
从何而来
高斯在研究测量误差的分布时完善了这条曲线，因此它也被称为「高斯分布」。旧版德国 10 马克纸币上就印着这条钟形曲线。
前置概念
小测验
在正态分布中，大约有多大比例的数据落在均值的 ±1 个标准差内？
- 50%
- 68%✓
- 95%
- 99.7%
练习
在正态分布中，大约有百分之多少的数据落在 ±2 个标准差内？
答案: 95
- 根据 68-95-99.7 法则，±2σ
- 大约 95%
要点: ±1σ→68%，±2σ→95%，±3σ→99.7%。
对于均值为 100、标准差为 15 的正态分布，大约有百分之多少落在 85 到 115 之间？
答案: 68
- 85 到 115 就是 100 ± 15，也就是均值 ±1σ
- 大约 68%
要点: ±1σ 区间立刻就是 68%。
对于均值为 50、标准差为 5 的正态分布，大约有百分之多少落在 40 到 60 之间？
答案: 95
- 40 到 60 就是 50 ± 10 = 均值 ±2σ
- 大约 95%
要点: 先算出这个区间跨越了几个 σ。
解释一下用 z=(x−μ)/σ 对正态分布做标准化，意味着什么。
答案: undefined
- 它衡量 x 与均值相差多少（减去 μ）
- 并以标准差 σ 为单位（再除以 σ）
- z 告诉你「距离均值有多少个 σ」
要点: 标准化用同一把尺子来比较不同的分布。