离散程度：方差与标准差
“标准差就是「平均而言，离平均数有多远」。”
公式
σ² = { (x₁−x̄)² + ⋯ + (xₙ−x̄)² } / n怎么读: 方差是每个数值与平均数之差的平方的平均值，它的平方根就是标准差
- xᵢ − x̄
- — 偏差——数值与平均数之间的距离
- (xᵢ − x̄)²
- — 偏差的平方（平方可以去掉正负号）
- σ²
- — 方差——各偏差平方的平均值
- σ
- — 标准差——方差的（正）平方根
引子
两组数据可以有相同的平均数，但「分散程度」却可能天差地别——方差和标准差就是衡量这种分散程度的标尺。
通俗地说
每个数值与平均数之差的平方，取平均后得到方差；方差的平方根就是标准差。
直觉
平均数是靶心，标准差就是箭平均落在离靶心多远的地方。标准差小，说明数据密集地聚在一起；标准差大，说明数据分散得很开。
如何构建
① 求出平均数，② 求出每个数值的偏差（数值 − 平均数），③ 偏差相加正好等于 0，所以先平方去掉正负号再取平均 → 得到方差，④ 平方放大了单位，所以再开平方还原 → 得到标准差。
示例
数据 3, 4, 5, 6, 7 → 平均数为 5。偏差为 −2, −1, 0, 1, 2；平方后 4, 1, 0, 1, 4，和为 10。方差 = 10/5 = 2，标准差 = √2 ≈ 1.41。
常见误区
直接对偏差取平均永远得到 0，无法衡量分散程度——这就是要先平方的原因。另外，方差的单位是原单位的平方（例如分²），要换回原单位就要用标准差。
用在哪里
考试成绩分布得是否均匀、产品质量是否稳定、投资风险（波动率）——用来衡量「平均数背后隐藏的稳定性」。
从何而来
标准差的名称和符号由卡尔·皮尔逊在19世纪末提出；这种用一个数字概括分散程度的工具，成为现代统计学的支柱之一。
前置概念
小测验
如果一组数据的方差是 9，它的标准差是多少？
- 3✓
- 4.5
- 9
- 81
练习
数据 4, 4, 4, 4 的方差是多少？
答案: 0
- 每个数值都等于平均数 4
- 所有偏差都是 0 → 方差为 0
要点: 如果所有数值都相等，就没有分散程度，所以方差为 0。
数据 2, 4, 6, 8, 10 的方差是多少？
答案: 8
- 平均数 = 30/5 = 6
- 偏差为 −4, −2, 0, 2, 4；平方后 16, 4, 0, 4, 16，和为 40
- 40 / 5 = 8
要点: 按「平均数 → 偏差 → 平方 → 求平均」的顺序进行。
求数据 1, 2, 3, 4, 5 的方差和标准差。
答案: undefined
- 平均数 = 3
- 偏差为 −2, −1, 0, 1, 2；平方和为 10
- 方差 = 10/5 = 2，标准差 = √2 ≈ 1.41
要点: 标准差是方差的平方根，能还原为原来的单位。