特征值与特征向量
“特征向量是在映射下不会摆动的方向；特征值是它被缩放的倍数。”
公式
Av = λv (v ≠ 0); det(A − λI) = 0怎么读: 特征向量v在A的作用下方向不变，只被λ缩放；这个因子λ就是特征值
- A
- — 一个方阵——空间的一种变换
- v
- — 特征向量——方向不被这个映射改变的向量
- λ
- — 特征值——该方向被拉伸或收缩的倍数
- det(A−λI)=0
- — 用于求特征值的特征方程
引子
无论一个矩阵怎样旋转空间，总有一些特殊的轴永远不改变方向。
通俗地说
对空间施加变换A，大多数向量的方向都会被打乱。但某些特殊的向量v能保持方向不变，只会被一个因子λ缩放。这样的v叫做特征向量，因子λ就是它的特征值。
直觉
把一个变换看作「拉伸并旋转空间」，特征向量就像它的旋转轴——那些不会摆动的方向。就像地球自转轴上的点在地球转动时依然保持方向不变一样，特征向量的方向也会被这个映射保留下来。λ则说明这根轴被拉伸了多少。
如何构建
把Av=λv移项得到(A−λI)v=0。要让这个方程在v≠0时有解，矩阵A−λI必须是「扁平的」，这个条件就是det(A−λI)=0。解出这个特征方程中的λ就得到特征值；把每个λ代回去就得到对应的特征向量。
示例
对A=[[2,1],[1,2]]：det([[2−λ,1],[1,2−λ]]) = (2−λ)²−1 = λ²−4λ+3 = (λ−1)(λ−3) = 0，所以λ=1, 3。λ=3对应的特征向量是(1,1)：A(1,1)=(3,3)=3(1,1)。λ=1对应的是(1,−1)：A(1,−1)=(1,−1)。
常见误区
特征向量不是某个特定长度的箭头——它是一个方向。如果(1,1)是特征向量，那么(2,2)和(−5,−5)也是：它们都是同一个特征向量（同一个方向）。重要的是方向及其缩放因子λ，而不是大小。
用在哪里
谷歌PageRank（网页图的特征向量）、振动和共振的固有频率、量子力学中的能级、主成分分析（PCA）、桥梁和建筑的结构稳定性——只要是在寻找一个系统的「固有轴」，就会用到特征值。
从何而来
欧拉在研究旋转时埋下了种子，20世纪初希尔伯特加上了「eigen」（德语「自身的」）这个前缀。随着量子力学的发展，它成为物理学的核心语言之一。
前置概念
小测验
对角矩阵[[3,0],[0,5]]的其中一个特征值是？
- 4
- 3✓
- 0
- 8
练习
求A=[[2,0],[0,7]]的两个特征值中较大的一个。
答案: 7
- 对角矩阵的特征值就是其对角线元素2和7
- 较大的是7
要点: 对角矩阵或三角矩阵的对角线元素就是特征值。
求上三角矩阵A=[[4,1],[0,4]]的特征值。
答案: 4
- 三角矩阵的特征值就是对角线元素
- 两个都是4（重特征值）
要点: 对三角矩阵来说，det(A−λI)可以直接分解成对角线元素的乘积。
对A=[[2,1],[1,2]]求解det(A−λI)=0，并找出较大的特征值。
答案: 3
- (2−λ)² − 1 = λ² − 4λ + 3
- = (λ−1)(λ−3) = 0 → λ=1, 3
- 较大的是3
要点: 特征方程det(A−λI)=0能给出特征值。
验证(1,1)是A=[[2,1],[1,2]]的特征向量，并求出对应的特征值。
答案: undefined
- A(1,1) = (2·1+1·1, 1·1+2·1) = (3,3)
- (3,3) = 3·(1,1)，所以方向保持不变，特征值λ=3
要点: 要检验一个特征向量，只需看Av是否是v的标量倍数。