圆的方程
“圆的方程就是「到圆心距离为 r」，用勾股定理写出来。”
公式
(x − a)² + (y − b)² = r²怎么读: 所有到圆心 (a, b) 距离恒为 r 的点 (x, y) 构成这个圆
- (a, b)
- — 圆心的坐标
- r
- — 半径——圆心到圆上一点的距离
- (x, y)
- — 圆上任意一点
引子
圆就是「到一个中心距离相等的点的集合」——圆的方程，只是把这句话用坐标写了出来。
通俗地说
到圆心 (a,b) 距离始终为 r 的点 (x,y) 构成这个圆。把这个条件写成方程，就得到 (x−a)²+(y−b)²=r²。
直觉
圆心到某点的距离，是由水平差 (x−a) 与竖直差 (y−b) 构成的直角三角形的斜边。由勾股定理，这条斜边的平方就是 (x−a)²+(y−b)²，令它等于 r² 就是在说「距离是 r」。
如何构建
只需要两样东西：圆心和半径。如果圆心是原点 (0,0)，方程简化为 x²+y²=r²。留意里面的符号——圆心是 (2,−3) 时，写出来是 (x−2)²+(y+3)²。
示例
圆心在 (0,0)、半径为 5 的圆是 x²+y²=25。代入 (3,4)：9+16=25 → 成立，所以 (3,4) 在这个圆上。
常见误区
(x−a)²+(y−b)²=r² 右边是 r²，不是 r。半径为 5 的圆，右边是 25，不是 5。而且圆心的符号在方程里是反过来的。
用在哪里
GPS 定位（圆的交点）、雷达探测范围、碰撞检测、计算机图形中的曲线——凡是涉及「与某中心距离固定」的地方都会用到。
从何而来
用坐标和方程处理图形的解析几何，由笛卡尔开创。圆的方程正是「用计算解决几何问题」的一个代表性例子。
前置概念
小测验
圆心在 (0,0)、半径为 3 的圆的方程是什么？
- x² + y² = 3
- x² + y² = 6
- x² + y² = 9✓
- (x−3)² + y² = 0
练习
圆心在 (1,2)、半径为 4 的圆，右边（r²）是多少？
答案: 16
- 右边是半径的平方
- r² = 4² = 16
要点: 右边是 r²，不是 r。
在圆 x²+y²=25 上，求点 (3, y) 处 y 的正值。
答案: 4
- 3² + y² = 25 → 9 + y² = 25
- y² = 16 → y = 4（y>0）
要点: 代入一个点可以检验它是否在圆上，并求出坐标。
对于圆心在 (2,−3)、半径为 √5 的圆，(x−2)²+(y+3)² 右边等于多少？
答案: 5
- 右边 = r² = (√5)²
- = 5
要点: 即使半径是无理数，r² 也可以是整齐的数。
一个圆以 (0,0) 和 (6,0) 为直径的两端。求它的圆心和半径。
答案: undefined
- 圆心是中点：((0+6)/2, 0) = (3,0)
- 半径是直径的一半：6/2 = 3
要点: 直径的中点是圆心，直径的一半是半径。