代数methodfoundations
二元一次方程组
“解就是两条直线相交的那一个点。”
公式
a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂怎么读: 找到同时满足两个一次方程的唯一一对 (x, y)
- x, y
- — 需要一起求出的两个未知数
- a₁, b₁, a₂, b₂
- — 每个方程中的系数
- (x, y)
- — 两条直线的交点 = 方程组的解
引子
有两个未知数时，一个方程是不够的——这是一场寻找两个条件同时成立的那个点的游戏。
通俗地说
找出同时满足两个方程的唯一一对 (x, y)。要把答案锁定在一个点上，需要两个方程。
直觉
每个一次方程都是平面上的一条直线。两条直线相交的坐标正是方程组的解——那唯一同时满足两个条件的位置。
如何构建
有两条路径。加减消元法：把两个方程相加或相减，消去一个未知数。代入法：把一个方程整理成 y=…的形式，整体代入另一个方程。无论哪种方法，关键都是把问题化简为只含一个未知数。
示例
x+y=5，x−y=1。两式相加：2x=6 → x=3。代回求得：y=2。(3,2) 使两个方程同时成立。
常见误区
解并不总是唯一的——如果两条直线平行，它们永不相交（无解）；如果两条直线完全重合，则有无穷多个解。
用在哪里
任何两件事纠缠在一起的问题——成人票与儿童票、两种商品的价格、速度与时间——都能靠它把各自的值理清楚。
从何而来
消元求解的思想早在两千年前的中国《九章算术》中就已出现，当时已用类似矩阵的表格形式呈现。
前置概念
小测验
若 x + y = 10 且 x − y = 2，x 是多少？
- 4
- 6✓
- 8
- 10
练习
若 x + y = 7 且 x − y = 3，求 x。
答案: 5
解答:
- 把两个方程相加消去 y：2x = 10
- x = 5
要点: 消元法：通过加减消去一个未知数。
若 y = 2x 且 x + y = 9，求 y。
答案: 6
解答:
- 代入：x + 2x = 9 → 3x = 9 → x = 3
- y = 2·3 = 6
要点: 代入法：把一个未知数整体代入另一个方程。
解 2x + y = 7 和 x + y = 4，并在两个方程中验证你的答案。
答案: undefined
解答:
- 用上式减去下式：(2x+y) − (x+y) = 7 − 4 → x = 3
- 代入 x + y = 4：y = 1
- 检验：2·3+1 = 7 ✓，3+1 = 4 ✓
要点: 求出的 (x, y) 必须同时满足「两个」方程。