三角函数
“三角函数就是绕圆运动的点的高度和宽度。”
公式
sin²θ + cos²θ = 1怎么读: 在单位圆上，一个点的纵坐标是 sinθ，横坐标是 cosθ，且它们的平方和恒为 1
- sinθ
- — 单位圆上该点的纵坐标（高度）
- cosθ
- — 单位圆上该点的横坐标（底边）
- tanθ
- — sinθ/cosθ——指向该点的直线的斜率
引子
三角函数其实就是「一个点绕圆运动时投下的影子」——输入一个角度，就会得到一个高度（sin）和一个宽度（cos）。
通俗地说
在半径为 1 的圆上，转过角度 θ 后，该点的纵向位置是 sinθ，横向位置是 cosθ。tanθ 就是两者的比值。
直觉
把一把长度为 1 的尺子绕原点转过角度 θ。尺尖的高度就是 sin，横向移动的距离就是 cos。随着 θ 增大，点不断绕圆运动，两个值也在 −1 到 1 之间上下波动——这就是三角函数呈现波形的原因。
如何构建
该点的坐标是 (cosθ, sinθ)。因为它落在半径为 1 的圆上，由勾股定理可知 (横坐标)²+(纵坐标)² = 1²，即 sin²θ+cos²θ=1。所有三角恒等式都源自这一个圆。
示例
当 θ=30° 时，sin30°=1/2，cos30°=√3/2。验证：(1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1。恒等式完全成立。
常见误区
sin²θ 表示 (sinθ)²，而不是 sin(θ²)。而且 sin(A+B) ≠ sinA + sinB——不能把括号内的角度直接拆开分配。
用在哪里
声波、光波、电流的波动；摆和弹簧的振动；圆周运动；用三角测量法测距——凡是旋转和振荡的现象都离不开它。
从何而来
「正弦」一词源自梵语中表示「弓弦」的词（jya），经阿拉伯语误译成拉丁语 sinus（「海湾、曲线」），这个名字就此沿用下来。
前置概念
小测验
sin 30° 是多少？
- 1/2✓
- √3/2
- 1
- 0
练习
求 sin 90°。
答案: 1
- 90° 位于圆的最高点，坐标为 (0,1)
- 纵坐标是 1 → sin 90° = 1
要点: sin 就是圆上该点的「高度」。
求 cos 60°。
答案: 0.5
- 60° 处的横坐标
- cos 60° = 1/2 = 0.5
要点: cos 就是圆上该点的「宽度」。
求 tan 45°。
答案: 1
- tan 45° = sin45°/cos45° = (√2/2)/(√2/2)
- = 1
要点: 在 45° 时高度等于宽度，所以斜率是 1。
通过计算验证 sin²θ + cos²θ = 1 在 θ=30° 时成立。
答案: undefined
- sin30°=1/2，cos30°=√3/2
- (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4
- = 1
要点: 这个恒等式其实就是半径为 1 的圆上的勾股定理。