几何formulafoundations
圆的弧与扇形
“扇形就是'整个圆 × 我这一块的比例（θ/360）'。”
公式
π r² × (θ / 360)怎么读: 扇形的面积是整个圆的面积乘以圆心角所占的比例（θ/360）
- r
- — 圆的半径
- θ
- — 扇形的圆心角（以度为单位）
- θ / 360
- — 扇形占整个圆的比例
引子
扇形其实就是'一块披萨'——你只需要知道你这一块占整体的多大比例。
通俗地说
扇形是圆的一部分。它的圆心角θ占一整圈（360°）的某个比例，它所占的面积（或周长）也是同样的比例。
直觉
想象一整个披萨。90°的圆心角是一整圈的四分之一，所以面积和弧长都正好是整体的四分之一。θ/360恰好就是'我这一块占的比例'。
如何构建
两部分——①圆的总量（面积πr²，周长2πr），②你这一块的比例θ/360。把它们相乘：扇形面积 = πr²·(θ/360)，弧长 = 2πr·(θ/360)。
示例
半径为6、圆心角为90°的扇形：面积 = π·6²·(90/360) = 36π·(1/4) = 9π。弧长 = 2π·6·(1/4) = 3π。
常见误区
很容易把直径当成半径代入，或者忘了θ/360这个因子，直接答成整个圆的面积。先弄清楚'占多大比例'。
用在哪里
披萨和派的切块、时钟指针扫过的面积、圆形跑道、风扇、叶片的设计——凡是出现圆的一部分的地方都能用到。
从何而来
阿基米德通过把圆切成无穷多份来求出圆的面积πr²；扇形正是把圆按角度比例划分的自然延伸。
小测验
半径为6、圆心角为90°的扇形面积是多少？（用π的倍数作答）
- 3π
- 6π
- 9π✓
- 36π
练习
半径为6、圆心角为90°的扇形弧长是多少？用π的系数作答（例如若结果是3π，答3）。
答案: 3
解答:
- 弧长 = 2πr × (θ/360) = 2π·6 × (90/360)
- = 12π × (1/4) = 3π
- π的系数是3
要点: 弧长就是'周长2πr'乘以这一块的比例。
半径为5的整个圆的面积是多少？用π的系数作答。
答案: 25
解答:
- 圆的面积 = πr² = π·5²
- = 25π
- π的系数是25
要点: 当圆心角是360°（一整圈）时，扇形就是整个圆。
求半径为4、圆心角为90°的扇形面积，用π的系数作答。并在笔记本上写下它占整个圆的比例。
答案: 4
解答:
- 90°是360°的1/4
- 面积 = π·4² × (1/4) = 16π × (1/4) = 4π
- π的系数是4
要点: 先用θ/360确定'占多大比例'，计算就变得简单了。