三角比
“三角比就是把角度转换成边长比值的转换器。”
公式
sin θ = opp/hyp, cos θ = adj/hyp, tan θ = opp/adj怎么读: 在直角三角形中，相对于角 θ，对边、邻边与斜边之间的比值
- sin θ
- — θ 的对边 ÷ 斜边
- cos θ
- — θ 的邻边 ÷ 斜边
- tan θ
- — θ 的对边 ÷ θ 的邻边（= 斜率）
引子
山的高度、河的宽度，这些没法直接测量的量，可以只靠一个角度和一个比值求出来——这就是三角学。
通俗地说
在直角三角形中选定一个锐角 θ，各边之间的比值就只由这个角度决定，这些比值就是 sin、cos、tan。
直觉
相似的直角三角形即使大小不同，边的「比值」也相同。所以只要 θ 相同，无论三角形大小如何，sin、cos、tan 都不变。角度本身就决定了「边的比值」。
如何构建
相对于 θ 给三条边命名——对边（高）、邻边（底）、斜边。sin 是对边/斜边，cos 是邻边/斜边，tan 是对边/邻边。tan 其实就是这个角的「斜率」。
示例
在 3-4-5 直角三角形中，设 θ 是长度为 3 的边所对的角：sin θ = 3/5 = 0.6，cos θ = 4/5 = 0.8，tan θ = 3/4 = 0.75。
常见误区
sin 和 cos 中的「对边」与「邻边」很容易搞混。关键在于，哪条边是对边、哪条边是邻边，取决于参照角 θ 的位置。
用在哪里
用三角测量法测山高和距离、坡道的坡度、振动、波、声音，甚至计算机图形学中的旋转——它是角度与长度之间的桥梁。
从何而来
古希腊和古印度的天文学家为了从星体在地平线上的角度推算距离，制作了「弦表」——这就是三角学的开端。
前置概念
小测验
sin 30° 的值是多少？
- 0.5✓
- 0.707
- 0.866
- 1
练习
tan 45° 的值是多少？
答案: 1
- 45° 来自等腰直角三角形——对边与邻边相等
- tan 45° = 对边/邻边 = 1/1 = 1
要点: tan 值为 1 表示对边等于邻边——也就是 45° 的斜率。
在 3-4-5 直角三角形中，设 θ 是长度为 3 的边所对的角，cos θ 是多少？
答案: 0.8
- θ 的对边 = 3，邻边 = 4，斜边 = 5
- cos θ = 邻边/斜边 = 4/5
- = 0.8
要点: cos 就是「邻边 ÷ 斜边」——选与参照角相邻的那条边。
求 sin 60° 的近似值，并在草稿纸上写出为什么它等于 √3/2。
答案: 0.87
- 把边长为 2 的等边三角形对半切开，得到一个 30°-60°-90° 三角形
- 斜边 2，底边 1，高 √3
- sin 60° = 高/斜边 = √3/2 ≈ 0.866
要点: 30°-60°-90° 三角形的边长比是 1 : √3 : 2——值得记住。