几何conceptfoundations
相似
“相似就是'形状相同、大小不同'——那个大小上的差异就是相似比。”
公式
a : a' = b : b' = c : c' = k怎么读: 对应边的比全部相等——那个恒定的比 k 就是相似比
- a, b, c / a', b', c'
- — 两个图形中互相对应的边
- k
- — 对应边长度的比（相似比）
引子
即使大小不同，'同一个形状'这件事也能被数学用一个比精确地捕捉下来。
通俗地说
两个图形相似，是指所有对应角相等，并且所有对应边都是彼此的同一个倍数（k 倍）。
直觉
想象放大或缩小一张照片。每一部分都以相同的倍数变大或变小，形状因此保持不变。这个'恒定不变的倍数'就是相似比 k。无论怎么缩放，角度都保持不变。
如何构建
它分成两条主线——① 所有对应角相等（形状不变），② 所有对应边的比都等于 k（只有大小改变）。而且关键的一点是：长度按 k 倍缩放时，面积会按 k² 倍缩放。
示例
两个相似比为 2 的三角形：如果小三角形的一条边是 3，大三角形对应的边就是 6。而面积不是按 2 倍增长，而是按 2² = 4 倍增长。
常见误区
相似比为 2 并不意味着面积翻倍。长度按 k 倍缩放，面积按 k² 倍，体积按 k³ 倍。人们常常忽略这个'k 的次方'差异。
用在哪里
地图比例尺、模型与实物的对照、通过影子测量树的高度、缩放屏幕分辨率——任何大小改变但形状保持不变的场合都用得到。
从何而来
据说泰勒斯利用影子的比例测出了金字塔的高度——这是有记载的最早的相似应用。
前置概念
小测验
两个相似比为 3 的图形，它们的面积比是多少？
- 3
- 6
- 9✓
- 27
练习
两个三角形的相似比是 2 : 3。如果小三角形的一条边是 6，大三角形对应的边是多少？
答案: 9
解答:
- 对应边始终保持恒定的比 2 : 3
- 6 : x = 2 : 3 → 2x = 18 → x = 9
要点: 对应边始终共享同一个比——一个比例式就能解出答案。
两个图形的相似比是 1 : 4，它们的面积比是多少？
答案: 2
解答:
- 面积比是相似比的平方
- 1² : 4² = 1 : 16
要点: 面积是相似比的平方——长度是 4 倍，面积就是 16 倍。
两个正方体的相似比是 1 : 2，它们的体积比是多少？在草稿纸上写出原因。
答案: undefined
解答:
- 体积是相似比的立方
- 1³ : 2³ = 1 : 8
- 因为长度（一维）按 k 倍缩放，面积（二维）按 k² 倍，体积（三维）按 k³ 倍
要点: 维度每升高一级，相似比的指数就增加一。