命题：真还是假
“一个命题和它的逆否命题共进退——逆命题不是。”
公式
(p → q) ≡ (~q → ~p)怎么读: '若 p 则 q'和它的逆否命题'若非 q 则非 p'，真假值永远一致
- p → q
- — '若 p 则 q'——一个条件命题（原命题）
- ~p
- — p 的否定——'非 p'
- ≡
- — 这两个命题的真假值永远相同
引子
在数学中，'命题'不是一种感觉或意见——只有能明确判断真或假的句子才算数。
通俗地说
命题是一句可以清楚判断真假的话。像'若 p 则 q'这样的条件命题，永远和它的逆否命题共享同一个真假值。
直觉
如果'下雨则地面湿'为真，那么反过来说的'地面不湿则没下雨'也一定为真。这是同一个事实从另一个角度说出来，所以它们的真假值是绑在一起的。
如何构建
命题只取真或假两个值中的一个。否定（~）把这个值反转。在条件命题'p→q'中，把 p 和 q 都否定并交换方向，就得到逆否命题'~q→~p'，原命题和它的逆否命题永远真假一致。
示例
'若 x=2 则 x²=4'为真。它的逆否命题'若 x²≠4 则 x≠2'也为真。但逆命题'若 x²=4 则 x=2'为假，因为 x=−2 是一个反例。
常见误区
一个命题为真，并不代表它的逆命题也为真。'x=2 → x²=4'为真，但逆命题'x²=4 → x=2'为假（x=−2）。与原命题共享真假的是逆否命题，而不是逆命题。
用在哪里
数学中的每一个证明和逻辑论证、程序里的条件语句（if）、法律与合同条款的解读——任何需要权衡'真还是假'的场合都用得到。
从何而来
把命题严格当作真或假来处理的逻辑学，可追溯到亚里士多德，19 世纪布尔又把它改写成一种像代数一样可以计算的形式。
前置概念
小测验
下列哪一项是'命题'？
- 3 是偶数✓
- 这幅画很美
- 把窗户关上
- x+1
练习
下列哪一项是'命题'——可以判断真假的句子？
答案: 0
- 命题 = 有明确真假值的句子
- '7 是质数'是一个真命题
- 意见、疑问句和单个词无法判断真假，所以都不是命题
要点: 命题必须能判断真/假——意见、命令句和疑问句都不算。
命题'5 大于 3'是真是假？再在草稿纸上写出它的否定。
答案: undefined
- '5 大于 3'为真
- 否定：'5 不大于 3' → 即'5 ≤ 3'，为假
- 否定把原命题的真假值反转
要点: 否定把真变假、把假变真。
命题'若是等边三角形，则是等腰三角形'为真。下列哪一项也一定为真？
答案: 1
- 如果原命题为真，它的逆否命题也一定为真
- 逆否命题：'若不是等腰三角形，则不是等边三角形' → 为真
- 逆命题'若是等腰则是等边'可能为假
要点: 只有逆否命题保证共享真假——逆命题必须单独检验。
'若 x²=9 则 x=3'为真吗？如果不是，请在草稿纸上写出一个反例。
答案: undefined
- 若 x²=9，则 x=3 或 x=−3
- x=−3 满足 x²=9 但 x≠3 → 存在反例
- 所以这个命题为假
要点: 一个反例就足以推翻一个命题。