代数conceptfoundations
一元一次不等式
“不等式的答案是一个范围，而不是一个点——除以负数时方向会翻转。”
公式
ax + b > 0怎么读: 求出使这个一次式大于（或小于）0 的 x 的取值范围
- a, b
- — 已知的数（a ≠ 0）
- >
- — 不等号——两边同乘或同除一个负数时方向会翻转
- x
- — 满足条件的取值范围
引子
方程寻找「恰好是这个值」；不等式寻找「比它大或比它小的整个范围」。
通俗地说
描述 x 比某个值大或小的陈述。答案不是一个数，而是一个「范围」。
直觉
答案不是数轴上的一个点，而是朝一个方向延伸的射线。如果 x>2，那么 2 右边的一切都是解。
如何构建
移项整理的方式和方程一模一样——只有一个例外：两边同乘或同除一个「负数」时，不等号方向要翻转。
示例
2x−4>0 → 2x>4 → x>2。在数轴上，2 右边的整个区域就是答案。
常见误区
最常见的陷阱：除以负数时忘记翻转不等号。−2x>4 两边同除以 −2 后变成 x<−2（> 变成了 <）。
用在哪里
确定满足某条件的「取值区间」——「至少要挣这么多」、「最多能买几个」、「安全范围是多少」。
从何而来
< 和 > 这两个符号最早由英国人哈里奥特在 17 世纪使用，凭借「尖角一侧更小」这种直观联想流传至今。
前置概念
小测验
−2x + 6 < 0 的解是什么？
- x > 3✓
- x < 3
- x > −3
- x < −3
练习
x + 4 < 9 的解是什么？
答案: 0
解答:
- 移项 4：x < 9 − 4
- x < 5
要点: 符号方向不变——你只是移动了一个正数。
−3x ≥ 9 的解是什么？
答案: 1
解答:
- 两边同除以 −3 → 符号翻转
- x ≤ −3
要点: 除以负数会把 ≥ 变成 ≤。
解不等式 5x − 2 < 3x + 6。
答案: undefined
解答:
- 归并未知数：5x − 3x < 6 + 2
- 2x < 8
- x < 4
要点: 除以正数 2 方向不变——若是负数则会翻转。