概率与统计formulafoundations
对立事件
“遇到'至少一次'，用1减去'一次都没有'。”
公式
P(Aᶜ) = 1 − P(A)怎么读: A不发生的概率是1减去A发生的概率
- A
- — 某个事件
- Aᶜ
- — A不发生的事件（它的对立事件）
- 1 − P(A)
- — 整体概率1减去A发生的概率
引子
有些概率直接计算很麻烦——比如'至少一次'——但只要反过来想：1减去'一次都没有'，往往豁然开朗。
通俗地说
某件事不发生的概率，等于整体概率1减去它发生的概率。
直觉
发生和不发生加在一起永远是100%（=1）。这两块正好填满整个圆，所以只要知道其中一个，另一个就是1减去它。
如何构建
事件A和它的对立事件Aᶜ永不重叠（不可能同时发生），二者合起来覆盖所有可能。所以P(A)+P(Aᶜ)=1，整理后得P(Aᶜ)=1−P(A)。
示例
三次抛硬币中'至少一次正面'的概率：它的对立事件是'全部反面'，概率为1/8。所以1 − 1/8 = 7/8。
常见误区
对立事件不是'比A小'——而是'除A以外的一切'。'至少一次'的对立不是'至多一次'，而是'一次都没有'。
用在哪里
'至少~'和'至少一次'这类问题几乎总是用对立事件算得更快。在多次试验中互换成功与失败时尤其好用。
从何而来
发生与不发生的概率相加为1，这个想法自然地源自早期概率论——把整体看作1，再拆分成若干份。
前置概念
小测验
如果明天下雨的概率是0.3，那么不下雨的概率是多少？
- 0.3
- 0.5
- 0.7✓
- 1
练习
如果一个事件发生的概率是0.25，它不发生的概率是多少？
答案: 0.75
解答:
- P(发生) = 0.25
- 1 − 0.25 = 0.75
要点: P(不发生) = 1 − P(发生)。
掷一颗骰子，不掷出1点的概率是多少？
答案: 3
解答:
- P(掷出1点) = 1/6
- 1 − 1/6 = 5/6
要点: '不'就是对立事件——用1减去它。
用对立事件求两次抛硬币'至少一次正面'的概率。
答案: undefined
解答:
- 对立事件'全部反面' = 1/4
- 1 − 1/4 = 3/4
要点: 遇到'至少一次'，数它的反面（'一次都没有'）会更快。