数与运算methodfoundations

质因数分解

“质因数分解把一个数拆成它的质数积木。”

公式

N = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖ

怎么读: 把一个数只写成不能再拆的质数的乘积

N: — 你要分解的那个整数
p₁, p₂, …, pₖ: — 质因数——像 2、3、5、7 这样不能再拆的质数
a₁, a₂, …, aₖ: — 每个质数被乘进去的次数（指数）

引子

每一个整数都能以唯一的方式，由几块质数'积木'相乘搭建出来。

通俗地说

把一个数拆成只有质数的乘积——2、3、5、7 等等。

直觉

不断用 2 去除一个数，再用 3、5……，最后只剩下无法再拆的质数。这些就是这个数的'配料表'。每个数的配料表都是唯一的——这就是质因数分解的唯一性。

如何构建

能被 2 整除就一直除以 2，再除以 3、5……，把每次得到的商继续往下除，直到剩下 1。同一个质数反复出现时，就合并成一个指数。

示例

分解 60：60÷2=30，30÷2=15，15÷3=5，5÷5=1。所以 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5。

常见误区

1 不是质数，所以它永远不会出现在分解式里。而 4 或 6 这类还能再拆的数，也不能作为质因数。

用在哪里

求约数个数、求最大公约数与最小公倍数、约分——它是几乎所有关于数字结构计算的起点。

从何而来

'每个数都是质数的唯一乘积'这一事实被称为算术基本定理，其雏形早已出现在欧几里得的《几何原本》中。

小测验

下列哪一个是 12 的正确质因数分解？

2 × 6
2² × 3✓
3 × 4
2 × 3²

练习

对 36 做质因数分解（把重复的因数合并成指数）。

答案: undefined

解答:

36 ÷ 2 = 18，18 ÷ 2 = 9
9 ÷ 3 = 3，3 ÷ 3 = 1
36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²

要点: 依次用最小的质数去除，直到剩下 1。

2³ × 5 等于多少？

答案: 40

解答:

2³ = 8
8 × 5 = 40

要点: 把质因数再乘回去，就能得到原来的数。

90 有多少个不同的质因数？

答案: 3

解答:

90 = 2 × 45 = 2 × 3² × 5
不同的质数是 2、3、5
→ 共 3 个

要点: 重复出现的质数仍只算作一种。

对 84 做质因数分解。