二项分布
“二项分布 = （成功pᵏ）×（失败）×（排列数ₙCₖ）。”
公式
P(X=k) = ₙCₖ pᵏ (1−p)ⁿ⁻ᵏ怎么读: n次独立试验中恰好出现k次成功的概率，每次成功的概率都是p
- n
- — 独立试验的次数
- p
- — 单次试验成功的概率
- k
- — 成功的次数（0到n）
- ₙCₖ
- — 在n次试验中放置k次成功的方式数
引子
抛10次硬币恰好出现6次正面的概率是多少？如果只是成功或失败的重复试验，一个公式就能给出答案。
通俗地说
这是在进行n次独立试验、每次成功概率相同为p时，得到k次成功的概率分布。
直觉
它是三个因子相乘的图景——k次成功的概率pᵏ，n−k次失败的概率(1−p)ⁿ⁻ᵏ，以及成功可能出现的排列方式数ₙCₖ。如果忽略排列方式，就会漏算概率，所以要用组合数来数排列方式，再乘进去。
如何构建
某一种特定顺序（比如成功-成功-失败……）的概率是pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ。这样的顺序共有ₙCₖ种，把它们加起来就带上了系数ₙCₖ。这个分布的均值是np——'试验次数×成功概率'。
示例
抛三次硬币（p=1/2），恰好2次正面的概率：₃C₂·(1/2)²·(1/2)¹ = 3·(1/8) = 3/8。正面可以出现在3个位置中的任意一个，所以系数是3。
常见误区
二项分布只适用于试验'相互独立'且成功概率p'保持不变'的情形。不放回抽样每次的概率都会变化，所以不是二项分布。
用在哪里
质量管理中的次品数、调查中赞成票的人数、临床试验中的响应人数、预测体育比赛的胜场数——凡是'重复成功/失败'的统计量都适用。
从何而来
重复的成功/失败试验（伯努利试验）这一名字源自17世纪的雅各布·伯努利，与他的'大数定律'一起成为概率论的基石。
前置概念
小测验
抛2次硬币，出现2次正面的概率是多少？（p=1/2）
- 1/4✓
- 1/2
- 1/8
- 3/8
练习
求抛3次硬币恰好出现2次正面的概率，用小数表示。（p=1/2）
答案: 0.375
- ₃C₂·(1/2)²·(1/2)¹ = 3·(1/8)
- = 3/8 = 0.375
要点: 别忘了排列数₃C₂=3。
求n=5，p=0.5的二项分布的均值np。
答案: 2.5
- 均值 = np = 5·0.5
- = 2.5
要点: 二项分布的均值总是np。
掷一次骰子，求掷出6点（成功）的概率，用小数表示。（n=1，p=1/6）
答案: 0.167
- ₁C₁·(1/6)¹·(5/6)⁰ = 1/6
- ≈ 0.167
要点: 当n=1时，二项分布退化为单次成功概率。
解释为什么P(X=0)+P(X=1)+…+P(X=n)=1。
答案: undefined
- 成功的次数必然是0到n之间的某一个
- 把每种情况都加起来就不会漏掉任何一种
- 总概率始终是1
要点: 所有可能结果的概率之和总是1。