最大公约数与最小公倍数
“最大公约数和最小公倍数总是如影随形。”
公式
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b怎么读: 最大公约数乘以最小公倍数，等于这两个数的乘积
- GCD(a, b)
- — 最大公约数——能同时整除两个数的最大数
- LCM(a, b)
- — 最小公倍数——同时是两个数的倍数中最小的那个
- a × b
- — 两个数本身的乘积
引子
「能同时整除两者的最大数」和「两者都能达到的最小数」——这两者其实是一对如影随形的伙伴。
通俗地说
最大公约数是能同时整除两个数的最大数；最小公倍数是同时是两个数的倍数中最小的那个——也就是它们的倍数第一次重合的位置。
直觉
质因数分解让这一切一目了然。最大公约数只收集两个数共有的质因子；最小公倍数收集出现在其中任意一个数里的所有质因子。这就是为什么把它们相乘，会得到这两个数本身的乘积。
如何构建
12=2²×3，18=2×3²。只取共有部分的最小次数 → 最大公约数=2×3=6。取每个质因子的最大次数 → 最小公倍数=2²×3²=36。验证：6×36=216=12×18。
示例
8 和 12：8=2³，12=2²×3。共有部分 2²=4 就是最大公约数。全部大方地取上，2³×3=24，就是最小公倍数。验证 4×24=96=8×12，成立。
常见误区
最大公约数不可能超过较小的那个数，最小公倍数也不可能小于较大的那个数。记住「最大公约数 ≤ 较小数 ≤ 较大数 ≤ 最小公倍数」，就能避免出错。
用在哪里
约分（最大公约数）和通分（最小公倍数），齿轮重新对齐的时刻，或者把物品均分且没有剩余——现实中的问题都会用到它们。
从何而来
快速求最大公约数的「欧几里得算法」出现在约公元前 300 年的《几何原本》中——这是至今计算机仍在使用的最古老的算法。
前置概念
小测验
12 和 18 的最大公约数是多少？
- 2
- 3
- 6✓
- 36
练习
8 和 12 的最大公约数是多少？
答案: 4
- 8 = 2³，12 = 2² × 3
- 共有质因子取最小次数：2² = 4
要点: 最大公约数只取共有的质因子，并取它们的最小次数。
4 和 6 的最小公倍数是多少？
答案: 12
- 4 = 2²，6 = 2 × 3
- 每个质因子取最大次数：2² × 3 = 12
要点: 最小公倍数收集所有质因子，并取它们的最大次数。
15 和 25 的最大公约数是多少？
答案: 5
- 15 = 3 × 5，25 = 5²
- 共有质因子：5 → 最大公约数 = 5
要点: 如果只有一个共有质因子，那就是最大公约数。
已知 12 和 18 的最大公约数是 6，用 最大公约数×最小公倍数=a×b 求最小公倍数。
答案: undefined
- 最大公约数 × 最小公倍数 = a × b → 6 × 最小公倍数 = 12 × 18 = 216
- 最小公倍数 = 216 ÷ 6
- 最小公倍数 = 36
要点: 知道了最大公约数，一次乘除就能求出最小公倍数。